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Reihe. 
B. Anwendung der bestimmten Integrale. 
Sehr viele, namentlich unendliche Reihen lassen sich durch bestimmte Inte 
grale summiren. Jedoch ist diese Summation natürlich der Beschränkung unter 
worfen, die sich aus den Eigenschaften der bestimmten Integrale selbst ergibt, 
namentlich dem Umstande, das$ in den Grenzen einer Integration der Differenzial 
quotient nicht discontinuirlich werden darf. Zu dieser Beschränkung aber kommt 
noch die andere hinzu, dass die Summenformel nur so lange gilt, als die fragliche 
Reihe convcrgirt. Einige Beispiele des hierbei einzuschlagenden Verfahrens gibt 
der Artikel: Quadratur. Wir fügen noch andere hinzu. 
Sei gegeben: 
a -}- b 2 ci -f- b Sa I) . na b n ... 
s « + 2^+r l x + ^+h i x +• • • + ^tv 1 x • 
Gehen wir von der Formel aus: 
,oo 
i = /' 
und setzen für u den Ausdruck sa l -\-b l so kommt: 
J^±L X S = f ^a + b)e~< sa ^ b ^x S da 
! «i+ 6 l Jo 
/ ,<*> . n <*> , 
— ab, —sa,a s , , . / —((0. —su.us, 
se 1 e 1 x da -f- o I e 2 e 1 x a a. A) 
f> n 
0 
Wenn man den Ausdruck; 
® + v 3 4* • • . + v n — - 
u-1 
differenziirt, so ergibt sich: 
1 2 ti "h • • • “h tt v 
n— 1 
fl~|“ l / I i \ ^ I i 
IV 1 — (n+ 1) 15 +1 
(®-l) a 
Setzt man nun in Formel 2j für s nach einander 1, 2, 8 ... n, so kommt: 
3) 
r 
S =a 
n Ja 
, — ui t 
2 
s~ 
s (e U a 1 x') 2 d « + b ^ 
n 
S — CO 
^ {e~ a ^x) s da, 
s=l 
also mit Benutzung der Formel 3): 
S 
n 00 / , , . ( — (rt+l) M+'i , , -, —na.a n4-1 , i 
; ==a f „-ajai+bi) j ne K ^ J x ^ ,+ w+le 1 x ^ +x\ ^ 
H ‘ 0 \ (e aa i x — l) 2 J 
+ b 
f 
00 /.I, r —na. an 
e -«K+M x(e 1 x -1) 
1 e~ a >“x-l 
d a. 
Sind m-j, M a , M s die Glieder unserer Reihe, so 
wird 
W — 1 sich offenbar der 
u 
n 
Grösse x nähern, und zur Convergenz ist es daher hinreichend, dass x kleiner 
als Eins ist. Die so eben summirten Reihen convergiren aber nur wenn e a ' a x 
kleiner als Eins ist. Dies findet, vorausgesetzt, dass x kleiner Eins ist, immer in 
den Grenzen Null und Unendlich statt, wenn a L positiv ist, — eine Bedingung, 
die übrigens auch stattfinden muss, damit das bestimmte Integral von welchem 
wir ausgingen, überhaupt anwendbar sei, denn sonst würde von einem gewissen s 
1 
an — negativ werden. 
sa i + A i 
Machen wir also diese Beschränkung und sei N der Werth der vorgelegten 
Reihe, wenn sie bis ins Unendliche fortgesetzt wird; man hat dann: