№ 
Reihe. 
S = 
331 
Reihe. 
r(6) 
r(a) r[b-a) 
— r 
- «)./ 0 
6—a—lj 
aw 
(! + «-*) 
Dieses Integral setzt voraus, dass b grösser als a ist, und a und b positiv sind. 
Wird diese Bedingung nicht erfüllt, so gibt unsere Summenformel nicht die Reihe 
wieder. 
Die hypergeometrische Reihe in ihrer allgemeinsten Gestalt hat die Form: 
JL fL r 4- a{ct + V a ( a + ^ ,2 , 
ß b + ß{ß + i) b(b + i) x • • 
Wir kommen im nächsten Abschnitt auf sie nochmal zurück. Mit derselben 
hat sich Gauss, nach ihm Kummer beschäftigt. Schwierigkeit macht die Summa 
tion derselben, sei es durch bestimmte Integrale, sei es durch eine Differenzial 
gleichung namentlich für den Fall imaginärer Variabein. In einer vorzüglichen 
Abhandlung hat Riemann in neuester Zeit diesen Gegenstand erledigt, zugleich 
aber den durch die Reihe definirten Functionen eine allgemeinere von ihrer Con- 
vergenz unabhängige Definition gegeben. 
Wir geben demnächst noch einen allgemeinen Satz, der für die Verwandlung 
von Reihen in bestimmte Integrale sehr oft angewandt wird. Es rührt dieser 
Satz von Parseval her. 
Seien zwei summirbarc Reihen gegeben: 
(f> (x) = a 0 + a { x -f a^x* -f 
V'0*0 = b o + hx + 6 2 a; 2 +. 
nun ist, wie leicht zu verificiren: 
4- a x 
' n 
, i n 
4- o x : 
» Vt ' 
/ 
dt — 0 
für jedes ganze s, jedoch nicht für s = 0. Im letzteren Falle ist 2n der Werth 
des Integrals. 
Wir haben nun: 
, ti\ , ti . 2ti . . nti 
(f{e )zza ü + a l e +(t 2 e + ...+« e 
V'O H ) = b 0 +b t e tl +b 2 e 2t + . . . +h n e 
nti 
multiplicirt man beide Gleichungen und integrirt in den Grenzen n nnd — n, so 
werden alle Glieder rechts der Null gleich, bis auf dasjenige, welches keine Ex- 
ponentialgrösse enthält. Man hat also: 
n n 
J —71 
(f{e tl )xp{e tl ]dt = 2n(a 0 b 0 + a l b l + . . . + a h ). 
Sind die Functionen cf und \p identisch, so hat man noch: 
f” ( r {e ti )(f(e~ ti )dt = 2n{a 0 >+a l > + . . . + «„’). 
Aj 
B) 
—n 
Beispiele. Sei zu suramiren die Reihe: 
/•(m) _ 1 + u 2 + (1 > 2)2 + (1 . 2 .3)2 
so setzen wir: