Reihe. 
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Reihe. 
T (») = !+,*+ 1T2 *’ +3T2^ 
ux 
x * -f- . . . = e 
Die Formel B) gibt dann: 
i,u) =hf_ 
71 l Î . — li 
ue + u e 
dt. 
oder : 
Ist dagegen : 
so setzen wir: 
f î,.\ 1 C n 2 « cot t ,. 
/M = 25./_. ' dt ■ 
ri \ H o U U 
f(u) ~ 1 — u 2 4- 4- . . . 
■ + (1-2) 2 (1 • 2.3) a ^ 
i r x 2 
nn 
u i x' 1 
'/(*) = ! +ux-^L + . . .=e UX 
tp(x) = l- ux + J~2 - • • • = e 
Es gibt dann die Formel A): 
1 f TI / t % 11 \ 
tv>=U ‘” (e ~ e ’ 
dt, 
d. h. : 
2iti sin t ,, 
e dt. 
№) =r*/U 
Da hier der imaginäre Theil verschwindet, so ist: 
1 r n 
f{u) — — I cos (2 m sin t) dt. 
-n 
Oder wenn man das Integral in vier andere theilt, die einander gleich sind: 
2 V 2 
f (u) — — / cos (2m sin t) d t. 
71 %.ß /\ 
C. Anwendung der Quadraturen und der Differenzialgleichungen. 
Wie Differenzialgleichungen und Quadraturen oft durch Reihen zu bestimmen 
sind, so werden auch Reihen umgekehrt auf Différerzialgleichungen und Quadra 
turen zurückgeführt. Es ist dies von Wichtigkeit, weil sehr oft Functionen, die 
zunächst durch Reihen definirt sind, welche nicht immer convergiren, sich auf alle 
Werthe der Variabein erweitern lassen, wenn man die Differenzialgleichung, welche 
diesen Beschränkungen nicht unterliegt und welche die Reihe erfüllt, als Defini 
tion gelten lässt. 
Sei wieder: 
a + ft 
«i + ft, 
x + 
21 6 
2a, -f- b, 
i 3 a + b 
4- ^ r- x 3 
3 ci, + b, 
4- 
+ 
na-\- b n 
na l -f-ft, 
Indem wir diese Reihe mit ax x multipliciren, und dann nach x differenziiren er 
halten wir: 
n • d {x v S) 
dx 
= n (1 + v) 
(t -j- b v n (2 4- v) (2a -f- ft) v-\~ i 
a, 4~ 
x + 
2a, 4- ft, 
+ 
, a(n -f y) (na -f- 6) w-fv- 
i I 7 % 
na L + b i