Rotation. 
Rotation. 
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also: 
2myz — 2myz l -f- e2my, 
und da 2my der Null gleich ist: 
2myz l — 0. 
Ebenso ist auch: 
Umxz^ ~ 0. 
D. h. ; 
„Jede durch den Schwerpunkt ge 
hende Hauptaxe ist auch Hauptaxe zu 
jedem in ihr befindlichen Punkte, und 
die beiden andern zugehörigen Haupt- 
axen sind dann den zu dem Schwerpunkt 
gehörigen parallel.“ 
Die Formel: 
Mq 2 = M(l 2 + Cl") 
gibt leicht, wenn man das Trägheits 
moment für eine durch den Schwerpunkt 
gehende Axe hat, das Trägheitsmoment 
für die durch einen beliebigen Punkt 
gehende parallele Axe. Die Formeln 2) 
bis 5) in Verbindung mit A) geben die 
Trägheitsmomente für die drei Haupt- 
axen, welche zu irgend einem Punkt 
gehören, wenn man die Trägheitsmo 
mente für drei beliebig durch diesen 
Punkt gehende auf einander senkrechte 
Axen hat. Die Gleichung 7) gibt aus 
den Hauptträgheitsmomenten ein belie 
biges Trägheitsmoment für eine Axe, die 
durch denselben Punkt geht. Die Auf 
gabe das Trägheitsmoment für iene be 
liebige Axe zu finden, kommt also 
immer auf die Auffindung der anf den 
Schwerpunkt bezogenen Hauptträgheits 
momente zurück. 
Es ist aber auch klar, dass bei homo 
genen Körpern, die so beschaffen sind, 
dass man durch einen Punkt derselben 
eine Ebene derart legen kann, dass jede 
auf der Ebene senkrechte Linie durch 
die Ebene und zwei Punkte der Ober 
fläche in zwei gleiche Theile gctheilt 
wird, immer die Bedingung 
£mxz = 0, 2myzzz0 
erfüllen wird, wenn man diese Ebene 
als Ebene der xy nimmt; es gehören 
nämlich dann zu jedem x und jedem y 
zwei s, die gleich sind bis auf das Vor 
zeichen, welches entgegengesetzt ist. 
Lassen sich also durch einen Punkt 
auf einander senkrechte Ebenen von der 
besagten Eigenschaft legen, so ist auch 
2mxy =0. Die drei Hauptaxen wer 
den durch diese Ebenen so bestimmt, 
dass ihr Durchschnitt die eine, die auf 
diesen in jeder Ebene senkrechte Linie 
eine der beiden anderen ist. 
Beispiel. Sei ein homogenes recht 
winkliges Parallelepipedon gegeben, so 
sind nach dem Obigen die drei durch 
den Mittelpunkt den Kanten parallel ge 
zogenen Linien die Hauptaxen. 
Seien a, b, c die halben Kanten, so 
ist, wenn q die Dichtigkeit ist; 
/ r>x — a pyzza 
(x 2 + y 2 ) dm = &QC I Jb {x 2 +y 2 ) dx ely, 
xzO ^ y- 0 
d. h. wenn M—^Qabc die Masse des Parallelepipedons ist: 
/ M 
{x 2 + y 2 ) dm — -g- (a 2 + h 2 ). 
Eben so ergeben sich für die beiden andern Hauptträgbeitsmomente: 
M M 
_(6*4- C 2), — (c 2 + rt 2 ). 
Macht also irgend eine Grade die Winkel «, ß, y mit den Kanten, und ist h ihre 
Entfernung vom Mittelpunkte, so hat man für das auf sie bezogene Trägheits 
moment: 
[cos a 2 (h 2 -f- c 2 ) -j- cos ß 2 (c 2 + a 2 ) -f- cos y 5 (« 2 -f- 6 2 )]. 
o 
Sehr leicht kann man auch das Trägheitsmoment eines homogenen Umdre 
hungskörpers in Bezug auf seine ßotationsaxe finden. 
Ist x = f(z) die Gleichung der einfach gekrümmten Linie, welche durch Dre 
hung um die Axe der s, die Oberfläche des Umdrehungskörpers erzeugte, so ist 
r = f(z) die Gleichung der letztem, und fr 2 dm das gesuchte Trägheitsmoment. — 
Das Massen-Element ist dann, grdrdd-dz, wo 9- der Winkel ist, welchen irgend 
eine Richtnng von r mit einer festen durch die Eotationsaxe gelegten Ebene 
macht. Das Trägheitsmoment ist also gleich: 
2no f f r s dr dz.