Rotation.
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Rotation.
isen Müsse m
i den 3 Axen,
ingen der Be-
auf die Axe
be beschaffen
frei Kräfte a,
unkte parallel
tare A, B, C,
mtenaxen pa
líese sind mit
.dien in die
g mit aufzu-
■ Mr¡
dt
dr
Ml T,
n des Schwer
er
yz + — Imxz
xz+-Zm, ß .
ieser Ausdruck
ixe die der z
Gleichung 2)
die Paare A,
i auf die Axe
welchen Fällen
eine Haupt-
angspunkt der
= 0.
irlichen Kräfte,
0, mithin also
is wirken also
e senkrechten,
ehenden Kräfte
ie Axe der s
x der Anfangs
eine Drehung
Igt, so könnte
Druck auf die I
welcher durch
erselben gehen
i einem Punkte
e Eigenschaft,
fest, und im
um eine der
iber keine con-
ich die Bewe-
e gleichmässig
fortsetzt, also keine Aenderung der Dreh-
axe während der Bewegung erfolgt. Ist
der Anfangspunkt zugleich Schwerpunkt,
so ist £ = y = £ = 0, also « = ii = 0. Es
erfolgt gar kein Druck, und es wird also,
wenn im Anfang eine Drehung um eine
zum Schwerpunkt gehörige Hauptaxe
erfolgt, dieselbe fortdauern, ohne dass
der Schwerpunkt fest zu sein braucht.
4) Drehung unter dem Ein
flüsse von Stosskräften.
den vorletzten der sechs Bedingungen
zeigen, dass die Axe eine Hauptaxe in
Bezug auf den Anfangspunkt ist, die
erste und zweite, dass die Kraft senk
recht steht auf der durch die Hauptaxe
und den Schwerpunkt gehenden Ebene.
Der Abstand a der Kraftrichtung von
der Drehaxe ist noch gegeben durch die
Gleichung:
2mr 2
Wirke jetzt eine einzige Stosskraft
auf den Körper, in Punkt x, y, z, deren
(Komponenten X, Y, 7j seien.
„ . er
setzen wir — =r, so ist die ent-
sprechende Formel:
oder wenn Mk 2 das Trägheitsmoment in
Bezug auf eine durch den Schwerpunkt
gehende der gegebenen parallelen Axe ist:
. , k 2
« = 5 + y
2 Up = M{k 2 +l 2 )r-,
z kann gleich Null gesetzt werden, wenn
man zum Angriffspunkt den Durchschnitt
der Stosskraft mit der Ebene x, y wählt.
Sei ~ = 0, d. h. wirke keine con-
tinuirliche Kraft, dann ist z = f5^7^>
JrJ (/£■'-\-l )
also constant.
Was den gegen die feste Axe, die wir
als Axe der 2 betrachten, ausgeübten
Stoss anbetrifft, so kann man wieder
setzen:
x = r cos >9-, y — r.sin 9, x —
d9
~dt'
also:
dx
Tt=~
<h _
dt
Der Stoss zerfällt jedenfalls in drei im
Anfangspunkte der Coordinaten den Axen
parallelen Stösse a, b, c und in Paare
A, B, C, deren Axen den Coordinaten-
axen parallel sind. Es ist also:
tt = X r M7], h — Y — t Mg, c = Z,
A = y Z -j- r2mz, B — — xTj -)- r 2myz,
während C der Null gleich ist.
Soll die feste Axe gar keinen Stoss
erleiden, so muss sein:
a = b =z c ~ 0, A — B ~ 0.
Geht die Ebene xz durch den Schwer
punkt, wie sie doch immer gelegt wer
den kann, so ist also y = 0, und somit:
z = 0, X = 0, Y ~ .VI7-, 2mxz = 0,
2my 2=0, aY — t 2mr 2 .
Die letzte Gleichung ist nämlich iden
tisch mit 2Up = M (k- Die bei
Also, damit die Drehaxe keinen Stoss
erleide, ist nöthig und ausreichend:
1) dass die Stosskraft senkrecht auf
der durch Drehaxe und Schwerpunkt
gehenden Ebene steht, 2) dass die Dreh
axe eine Hauptaxe ist in Bezug auf
ihren Durchschnittspunkt mit derjenigen
darauf senkrechten Ebene, in welcher die
Kraft liegt, 3) dass die Entfernung der
Kraft von der Drehaxe gleich £ -f- — ist t
Die letztere Bedingung ist unerfüllbar,
wenn der Schwerpunkt in der Drehaxe
liegt, da dann £ = 0 wird.
Der Durchschnitt der Richtung der
Kraft mit der Ebene in welcher die
Drehaxe und der Schwerpunkt liegen,
heisst Mittelpunkt des Stosses.
5) Anwendung auf das physi
kalische Pendel.
Möge auf den Körper die Schwere
allein wirken. Wir nehmen an, dass die
Drehaxe horizontal und die Axe der y
sei. Die 2 Axe nehmen wir der Rich
tung der Schwere entgegengesetzt. Als
Winkel 9 kann der betrachtet werden,
welchen die Ebene yz mit der durch
Drehaxe und Schwerpunkt gelegten Ebene
macht, er wachse zwischen den positiven
Seiten der Axen y und 2. Das stati
sche Moment der Schwere an dem
Punkte A ist dann gleich ymx, und
alle diese setzen sich zusammen zur
Grösse yM£. Die Gleichung 2) des Ab
schnitt 3) wird also :
dA9 _g J_
dt 2 k 2 + l 2 '
Oder da man hat £ = l sin 9 :
d' l 9 gl .
S7î=F+T« sm9 -
