Rotation. 
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Rotation. 
Die Bewegung ist dann so zu betrachten, 
dass sich der Körper um eine Axe dreht, 
zugleich sich aber die Axe in ihrer eige 
nen Richtung fortbewegt, (also z. B. hebt 
oder senkt, wenn diese Axe vertikal ist). 
Dies ist die Bewegung „einer Schraube 
in ihrer Mutter“, und auf eine solche 
kommt also die augenblickliche Bewe 
gung eines festen Körpers immer zurück. 
Ist ein Punkt des Körpers absolut 
fest, so kann derselbe keine fortschrei 
tende Bewegung haben, es wirkt also 
nur eine Drehung um eine feste durch 
diesen Punkt gehende Axe. Auch diese 
Bewegung lässt sich durch ein einfaches 
Bild darstellen. Man fixire die augen 
blickliche Drehaxe, und denke sich eine 
mit ihr zusammenfallende im Raume 
feste, und eine andere mit ihr zusam 
menfallende im Körper feste Linie. Zur 
Zeit, wo die Drehung um diese Axe er 
folgt, fallen also beide Linien zusammen, 
um sich im nächsten Moment zu tren 
nen. Denken wir uns auf gleiche Weise 
alle Drehaxen, wie sie sich bei der Be 
wegung nach einander zeigen, zugleich 
im Raume und im Körper fest, so bil 
den beide Schaaren von Linien Kegel 
flächen, eine im Raume feste und eine 
im Körper feste. Die erste bewegt sich 
dann so auf der zweiten, dass immer 
die momentane Berührungslinie (Dreh 
axe) unbeweglich ist. Diese Bewegung 
ist also eine rollende (s. den Artikel: 
Rollen), d. h.: 
„Die Bewegung eines festen Körpers, 
von dem ein Punkt absolut fest ist, kann 
immer dargestellt werden als das Rollen 
einer Kegelfläche auf einer andern Ke 
gelfläche, welche letztere absolut fest ist, 
3) Gleichungen der drehenden 
Bewegung unter dem Einflüsse 
co ntinui rli eh er Kräfte. 
Die Gleichungen der Bewegung eines 
festen Körpers zerfallen in drei, welche 
anzeigen, dass die verlorenen Kräfte 
sich in Gleichgewicht halten, und in drei 
andere, welche zeigen, dass auch die 
Summe der Paare oder Momente der 
verlorenen Kräfte sich in Gleichgewicht 
halten. 
Da man die Kräfte alle nach dem 
festen Punkte verlegen kann, so fallen 
die drei ersten Gleichungen aus, und 
haben eben nur die Bedeutung, dass sie 
den Druck messen, welcher auf den 
festen Punkt erfolgt. Es bleiben also 
nur die Momentengleichungen. 
Seien jetzt X, Y, 7j die Componenten 
der wirkenden Kräfte, ferner x, y, z Coor- 
dinaten eines beliebigen Punktes von der 
Masse m, dieselben sollen auf einander 
senkrechten, durch den festen Punkt 0 
gehenden, und im Raume festen Axen 
parallel sein. 
Setzt man: 
1) 2 (yZ — zY) = L, X(zX —xZ) = M, 
2{xY-yX) = N, 
so wird : 
2) i = 
/ d*x 
M=Xm(z—— 
\ dt 2 
( d' ! y 
" = ■*"(*3fi 
,£äh 
dl*)’ 
d 2 z\ 
X dt»/’ 
)• 
d 2 x 
d i ! 
Damit diese Gleichungen das Nöthige 
zur Berechnung geben, müssen die Coor- 
dinaten jedes Punktes durch so viel 
Grössen als Gleichungen sind, d. h. durch 
drei ausgedrückt werden. 
Nehmen wir noch drei Axen an, 
y2j, die im Körper fest sind und 
durch den Punkt 0 gehen, seien bezüglich; 
«, ß, y, ß lt y„ cc 3 , ß 2 , y 2 
die Cosinus der Winkel: 
(x L x), (x,y), (x,z), (y,x), (y t y), (i/,2) 
(»i«)> (*iy), Oi*)) 
welche die neuen Axen mit den alten 
machen, dann ist bekanntlich: 
3) x, = ax + ßy + yz, 
2/i = «i*+/Jiy+yi*i 
z, = a 3 x +ß. 1 y + y 2 z 
3a) x = ctx l +«|i/, + «2 z i, 
y-ßx l +ß l y l -\- ß 2 z { , 
» = y^i + ZiSG-f y»z r 
Zwischen den neun Cosinus aber finden 
sechs Relationen statt, die sich auf ver 
schiedene Weise darstellen lassen: 
4) « 2 -fß, 2 +ß 2 2 =1, 
/* 2 + /V + /V = 1, 
y 2 + Zi 3 + jV = 1. 
««1 + ßßi+ yyi = o 
+ßiß* + yiY 2 = 0 
ß 2 «+ ß 2 ß -f y. 2 y = 0 
4a) « 2 +/S 2 -f-y 2 =1 
«i 2 + /V + jV = 1 
« 2 2 +/V + z 2 2 = i 
nß + «,/S, + a 3 ß 3 - 0 
ßy + ßiYi+ ßrf* = 0 
ya + Y^i+Ya« a = 0-