Rotation. 
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Rotation. 
Der ersteren Ebene aber entspricht 
das kleinste, der letzteren das grösste 
Trägheitsmoment. Wäre B — C, so hätte 
man einen Rotationskegel, dessen Rota- 
tionsaxe die der ist, wäre B = A, 
so wäre die Axe der z t die Rotations- 
axe. Für A — B—C sind p, q, r con- 
stant, wie sich aus den Gleichungen I) 
ergibt Die Bewegung geschieht dann 
um eine feste Axe. Ist l 2 gleich einer 
der Grössen —, -i-, —, so ist der Kegel 
Ja JJ C 
ein System von zwei Ebenen, von denen 
jedoch natürlich nur eine die Drehungs 
axe enthält. 
Findet aber keiner dieser Fälle statt, 
ist also 1 — CI 2 positiv und 1 —Al 2 ne 
gativ, so kann noch 1 — Bl 2 der Null 
gleich sein. In diesem Falle aber ist: 
fl! - C ß ~ CP ) _ C(B -C) 
. 2, 3 ~ A (.Al 2 - 1) ~ Ä'CÄ^B)' 
Es ist dies ein System von zwei Ebe 
nen, welche durch die Axe y t gehen, 
und mit der Ebene y t z v gleiche Winkel 
machen. Sie schneiden das Ellipsoid in 
zwei Ellipsen, welche die Orte der Pole 
sind. 
Offenbar also ist in diesem Falle die 
Entfernung des Mittelpunkts von der 
durch diese Pole gelegten Tangential 
ebene constant und gleich dem mitt 
leren halben Durchmesser. 
Ist aber 1 — Bl 2 nicht Null, so sind 
die Fälle zu unterscheiden, wo dieser 
Ausdruck positiv oder negativ ist. Im 
ersteren Falle gibt die Gleichung des 
Kegels: 
x? ^ C(X-Cl»■)_ C(B-C) 
z 2> A.{Al 2 — 1 ) > A(A- B)' 
Das letztere folgt, weil -i- > P sein muss, 
B 
Nimmt man an, dass die Axe ver 
tikal sei, so befinden sich im ersten 
Falle alle Kegelseiten oder Drehaxen 
zwischen den beiden Ellipsen. Ist 1 — BP 
negativ, so befinden sich die Kegelseiten 
ausserhalb der beiden Ellipsen. Beide 
Ebenen theilen das Ellipsoid in vier 
Räume. Befindet sich die augenblick 
liche Drehaxe zu irgend einer Zeit in 
einem derselben, so tritt sie nicht her 
aus. Liegt sie in einer der vier Begren 
zungen, welche von den beiden Ebenen 
gebildet werden, so bleibt sie ebenfalls 
in derselben. Noch lässt sich zeigen, 
dass wenn zwei der Hauptaxen des 
Ellipsoids nicht nahezu gleich, und die 
anfängliche Drehaxe sich sehr nahe der 
grössten oder kleinsten Hauptaxe be 
findet, sic während der ganzen Bewegung 
sich nicht weit von ihr entfernt. 
Sind aber zwei Hauptaxen noch gleich, 
so ist nur die Bewegung um die dritte 
eine stabile.. 
Schliesslich soll noch die Lage der 
Axe des mittleren Paares, welche im 
Raume fest ist, für den Körper gegeben 
werden. Es war: 
x, : y t : z | = Ap : Bq : Cr 
für jeden Punkt dieser Axe. Nun geben 
die Gleichungen IVa) und V): 
Ap 2 (1 — AP) -)- Bq 1 (1 — BP) 
+ cv(i- cp)= o, 
also: 
(1 Al 2 ') xf -j- (1 Bl 1 ) y ,* 
+ (i-a 2 ) Sl 2 =:0. 
Das ist wieder ein Kegel zweiten Gra 
des. Die elliptischen Schnitte desselben 
sind in der Ebene des grössten oder 
kleinsten Trägheitsmomentes. Es wird 
ein Rotationskegel, wenn B~C oder 
B — A ist. Für 
A ~ B = C ist P - -4 
A 
und man hat: 
- Vi : *i = p-q-r, 
d. h. die Axe des mittleren Paares fällt 
in die Drehaxe, Letzteres ist also fest, 
7) Vollständige Lösung des 
Rotationsproblems für den Fall, 
wo keine c on tinui rlich en Kräft e 
stattfinden mit Hülfe der ellip 
tischen Functionen. 
Die vollständige Lösung des hier be 
sprochenen Problems rührt von Jakobi 
her (vergleiche Grelles Journal). Wir 
folgen hier der bereits erwähnten Me 
thode von Weierstrass, welcher statt 
zunächst die Winkel q, xp, 9- zu suchen, 
die 9 Cosinus «, ß, y, n l ... unmittel 
bar bestimmt. 
Es sei zunächst B immer das mittlere 
Trägheitsmoment, indem wir es vor der 
Hand noch unbestimmt lassen, welches 
das grösste und welches das kleinste sei. 
Jedenfalls aber haben CK 2 —1 und AIP —1 
entgegengesetzte Vorzeichen, wie im vo 
rigen Abschnitt gezeigt worden ist. 
Setzen wir jetzt: 
so ist der Coefficient von y? immer 
positiv, und man erhält aus den Glei 
chungen 2) des Abschnittes 6):