Rotationsfläche. 
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Rotationszeit. 
, • _ (« + ß*) V + («i+ ßiV 9 + («» + ßM r 
' ry üj 
ein Ausdruck, der sich leicht mittelst der Formel II) berechnen lässt. Während 
man fur z erhält: 
Rotationsfläche (Geometrie). 
Rotationsfläche ist eine Oberfläche, 
welche entsteht, indem man eine belie 
bige Curve um eine feste Axe bewegt. 
Es folgt hieraus unmittelbar, dass jede 
auf der Axe senkrechte Ebene die Ro 
tationsfläche in einem Kreise schneidet. 
Um die Gleichung einer Rotationsfläche 
zu bestimmen, nehmen wir die Rotations- 
axe als Axe der a ; sind dann 
fix, y, a) = '4 {x, y, 2) = 0 
die Gleichungen der Curve, so ist 
r = Y x^-^-y" 1 
der Abstand eines Punktes derselben 
von der Axe, und da dieser für gege 
benes a constant bleibt, so braucht man 
aus den drei Gleichungen : 
fix, y, *) = 0, >4 (x, y, a) = 0, 
r 2 = x 2 -\-y 2 
nur x und y zu elimiuiren, und nach 
ausgeführter Rechnung wieder 
r — Y x 2 -f- y 2 
zu setzen, um die verlangte Gleichung 
zu erhalten. Es ist nämlich 
r = Yx 2 + y 2 
auch der Abstand eines Punktes der 
Rotationsfläche von der Axe. 
Ist die gegebene Curve eine ebene, 
so nehmen wir an, dass sie in der Ebene 
xi liegt. Sei <4' {x, a) = 0 ihre Glei 
chung; also y — 0, so wird r — x, und 
man hat; 
<4 (r, a) = 0, r 2 = x 2 + y 2 
als Gleichung der Rotationsfläche. Auf 
diesen Fall kann man aber jede Rota 
tionsfläche zurückführen, denn legt man 
durch die Axe irgend eine Ebene, so 
schneidet diese die Rotationsfläche in 
einer ebenen Curve, die man immer als 
diejenige betrachten kann, durch deren 
Drehung die Fläche entstanden ist. 
Beispiele. Sei die Curve ein Kreis, 
also ihre Gleichung 
ar 2 -f-a 2 = a 2 -, 
dreht dieselbe sich um ihren Durch 
messer, so kommt: 
r 2 -f- z 2 = a 2 oder x 2 -f y 2 + a 2 = « 2 , 
Die Fläche ist eine Kugel. 
Sei sie eine Grade, und x — ccz ihre 
Gleichung, so kommt: 
x 2 4“ y i = «*a J . 
Die Fläche ist ein Rotationskegel. 
Ist die Grade der Axe der z pa 
rallel, also x = h ihre Gleichung, so wird 
x 2 + y 2 — h 2 die Gleichung der Fläche, 
welche einen Rotationskegel vorstellt. 
Um die Formeln für Quadratur und 
Cubatur der Rotationskörper zu erhalten, 
denke man zwei einander unendlich nahe 
Ebenen senkrecht durch die Rotationsaxe 
gelegt; sie schneiden von der Fläche 
einen abgestumpften Kegel ab. Der 
Mantel desselben ist 7rs(r + p), sein 
Inhalt n h {r 2 r qq 2 ) , wo r, q die 
Radien der Grenzflächen, h die Höhe, 
s die Seite ist. (S. den Artikel: Raum 
lehre). Nun ist hier 
q = r + dr, h — dz, ds — Ydz 2 dr 2 , 
also, wenn man die unendlich Kleinen 
zweiter Ordnung weglässt, so ergibt sich, 
wenn a 0 , a L die Coordinatenwerthe z sind, 
zwischen welchen das aufzufindende Stück 
liegt, und F die Oberfläche, J den kör 
perlichen Inhalt anzeigt: 
F — 2n C rYdz 2 + dr 2 , 
7, 
0 
Anwendungen dieser Formeln gibt der 
Artikel: Quadratur. 
Rotationskörper, der von einer Rota 
tionsfläche begrenzte Körper. 
Rotationszeit (Astronomie). 
Die Zeit- in welcher ein Himmels 
körper seine Axendrehung vollendet. 
Die Rotationszeiten der Sonne und 
sämmtlicher Planeten sind constant. Wir 
fügen dieselben hier hinzu: