Schwerpunkt. 
Schwerpunkt. 
irische Gestalt des betrachteten Systems 
kennt. 
Sei ds das Element einer ebenen Curve, 
welche man sich um ihre Axe der x 
gedreht denkt, so wird der' Inhalt der 
erzeugten Rotationsfläche sein 
F 
« J'yds, 
wo « der bei der Drehung zurückgelegte 
Bogen ist. 
Nun ist aber, wenn S die Länge der 
ganzen Curve, y die Ordinate ihres Schwer 
punkts ist: 
yds — yS. 
Es ist nämlich, wenn q die Dichtig 
keit ist: 
ydm — yyds = yM = tjüs. 
Ferner ist nyS der bei der Entstehung 
der Fläche vom Schwerpunkte der Er 
zeugungslinie beschriebene Kreis. 
Seien jetzt ferner y — f(x), y, = y(«) 
die Gleichungen zweier ebenen Curven, 
welche um die gemeinschaftliche Axe der 
«gedreht werden. Das Stück der Ebene, 
welches zwischen ihnen und zwei den 
Abscissen x 0 , x L entsprechenden Ordi- 
naten liegt, wird dann einen Umdrehungs 
körper erzeugen, dessen körperlicher In 
halt ist: 
K 
= f.r 
I/O) 2 -'/ 
Sei nun wieder y die Ordinate des 
Schwerpunktes desjenigen Ebenenstückes, 
welches den Umdrehungskörper erzeugt, 
so ist offenbar, wenn wir mit V den 
Flächeninhalt dieses Ebenenstücks be 
zeichnen : 
dm — q dx dy, M — pF, 
also: 
yV = j'J\y-y r ) dx dy = ^ J' 1 [f(x) i - y (»)»] dx, 
also: 
K=«yV. 
Es folgt hieraus: 
I. Das Volum einer Umdrehungsfiäche 
ist gleich dem Product der Länge der 
ebenen Erzeugungscurve in den Weg des 
Schwerpunktes derselben. 
II. Der körperliche Inhalt eines Um 
drehungskörpers ist gleich dem Flächen 
inhalt der Erzeugungsfläche multiplicirt 
mit dem Wege ihres Schwerpunktes. 
In diesen beiden Regeln besteht der 
Guldinische Satz. Er führt die Flächen 
inhalte der Rotationsflächen und Körper 
auf die Schwerpunkte ihrer Entstehungs 
ebenen und Linien zurück und umgekehrt. 
Hieran ist noch ein Satz zu knüpfen, 
der sich auf den körperlichen Inhalt 
schief abgeschnittener Prismen oder Cy 
linder bezieht. 
Sei P ein solcher Körper, A und B 
der Flächeninhalt der beiden Basen, 
so lässt sich P durch Ebenen, welche 
den Seiten parallel sind, in unendlich 
viel Prismen oder Cylinder theilen. Sei 
a die Grundfläche, h die Höhe eines 
solchen senkrecht auf Ebene A, so ist; 
P — (ih -j- a l h l -f- . ,, — N 
Offenbar ist nun, wenn b, b t , b a . . . 
die andern Grundflächen der unendlich 
kleinen Prismen sind: 
a a L A 
T~b~ B ’ 
also: 
P=~2{bh). 
Wird die Ebene A als Ebene der yz be 
trachtet, so ist h die darauf senkrechte 
Ordinate x von h. also wenn H die ent 
sprechende Höhe des Schwerpunkts vor. 
b ist, so hat man: 
2 (hh) = HB, also P = AH. 
D. h. 
III. Der Inhalt eines schief abgeschnit 
tenen Prismas oder Cylinders ist gleich 
dem Produkt der einen Grundfläche in 
den Abstand ihres Schwerpunktes von 
der andern Grundfläche. 
2) Schwerpunktsbestimmungen. 
Der Schwerpunkt eines Systems wird 
bestimmt durch drei Gleichungen von 
der Gestalt 1) des vorigen Abschnitts, 
also: 
2 hm — HM, 
wo h die Abstände der einzelnen Punkte 
des Systems, H den seines Schwer 
punkts von einer beliebigen Ebene an 
zeigt. Es ist nöthig, dass hierbei drei 
auf einander senkrechte Ebenen genom 
men werden, da ja jede Richtung h als 
zu einem andern Coordinatensystem ge 
hörig gedacht werden kann. 
Zerlegt man ferner das System in 
mehrere andere, deren Massen fi, 
. sind, und wo die Abstände der