Schwerpunkt. 
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Schwerpunkt. 
Schwerpunkte von der bezüglichen Ebene 
k, k t , k 2 ... sind, so ist auch offenbar; 
2hm = 2hu = HM, 
In den drei Gleichungen kann man 
also auch statt der Punkte Systeme von 
Punkten nehmen, wenn man x, y, z oder 
h auf ihre Schwerpunkte bezieht. 
Ist das betrachtete System ein homo 
genes, so ist klar, dass jede Ebene oder 
Linie, um welche entweder das ganze 
System, oder je zwei Theile desselben 
symmetrisch gruppirt ist, den Schwer 
punkt enthalten wird. Denn nimmt man 
die angreifenden Kräfte dieser Linie oder 
Ebene parallel, so werden sich die, welche 
je zwei gleich weit von derselben ent 
fernte Punkte angreifen zu einer in der 
Ebene oder mit der Linie zusammenfal 
lenden Mittelkraft vereinigen, dies also 
auch mit der Mittelkraft aller parallelen 
Kräfte stattfinden. 
Ist das System um einen Punkt sym 
metrisch gruppirt, so ist dies der Schwer 
punkt selbst. 
Hieraus folgt sogleich: 
„Die Schwerpunkte von ebenen Curven 
und Ebenenstücken liegen mit ihnen in 
einer Ebene.“ 
Der Schwerpunkt einer Kreislinie oder 
Kreisfläche, und überhaupt aller Linien, 
Flächen oder Körper die einen Mittel 
punkt haben, liegt in demselben. 
Der Schwerpunkteines Parallelogramms 
liegt in dem Schnittpunkt der Diagonalen, 
Der eines Parallelepidons im Schnitt 
punkt der drei Diagonal-Ebenen. 
Die allgemeine Formel zur Bestim 
mung homogener Curvenbogen ist: 
f 
hds = SH, 
Die Entfernungen h beziehen wir auf 
den der Sehne des Bogens parallen Durch 
messer. 
Ist PK — ds (Fig. 384) ein Element 
Fig. 384. 
wo h, H die Abstände von einer Ebene, 
ds das Linienelement, S die Länge der 
ganzen Curve ist. Bei ebenen Curven 
ist h der Abstand von einer in der Ebene 
befindlichen Graden. 
Beispiele. 
Der Schwerpunkt eines Kreis 
bogens sei zu finden. 
Der durch seine Mitte gehende Halb 
messer enthält denselben, da um ihn der 
Bogen symmetrisch liegt. 
Sr) = Y2aJy?dy 
und wenn man h — x, H = £ setzt: 
des letzteren PN = h, KN' = h', 0 der 
Mittelpunkt, r der Halbmesser, so ist 
offenbar: 
PK OP 
NW ~ PN * 
da die Dreiecke PKS und OPN ähnlich 
sind, also: 
hds = r • NN 
also: 
2hds — AB • r, 
wo AB die zum Bogen gehörige Sehne 
ist, also; 
SH=r-AB; 
r S 
d. h.: 
„Der Abstand des Schwerpunktes vom 
Mittelpunkte verhält sich zum Halbmesser, 
wie die Sehne zum Bogen.“ 
Für die Cycloide ist 
d JL - J y 
dx [' 2a—y ’ 
wenn die Gleichung derselben auf ihren 
Scheitel bezogen ist, also: 
ds = -ady S =e\2^y, 
V y 
wenn der Bogen im Scheitel anfängt. 
Es ist also, wenn man h = y, Hz£y 
nimmt: 
2l/2« 4 
= "ir 2 ' ’ 
S£ = V2aJ y~ = 2 V2a xY y - J yidx = 2^2« (xY y —£dyY2a — y^ 
= 2^2a (xYy + £ {2a-y)i) + C; 
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