Schwerpunkt. 
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Schwerpunkt. 
Fig. 386. 
Die Bestimmung des Schwerpunk 
tes eines Trapezes ABDC (Fig.386), 
kann leicht auf die vorige Aufgabe zurück 
geführt werden. Die Verbindungslinie 
EF der Mitten der beiden parallelen 
Seiten enthält offenbar den Schwerpunkt, 
da durch Linien die parallel AB sind 
das Trapez in Theile getheilt wird, die 
symmetrisch um EF liegen. Verlängere 
man nun AC und BD bis zum Schnitt 
punkte G, so wird auch die Verlänge 
rung von EF durch G gehen. Sei GHK 
senkrecht auf AB, HL = und setzen 
wir: AB-a, CD = b, GH = h, KH = k. 
Seien ferner die Flächeninhalte der Drei 
ecke GCD und GAB bezüglich gleich F 
und f, nehmen wir die Abstände der 
Schwerpunkte der beiden Dreiecke von 
der durch L gezogenen AB parallelen Linie, 
so sind diese Abstände bezüglich gleich: 
h k , h k 
” 4 T _ T 
Sei l der Abstand des Schwerpunktes 
des Trapezes von derselben Linie, so 
ist also: 
l(2h + k)f+l{F-f) = i(2h-dk)F-, 
ausserdem hat man: 
h:h~a:a — h, f:F=b i :a i , 
also: 
„Die Entfernung des Schwerpunkts des 
Trapezes von seiner Mittellinie verhält 
sich zur Differenz der parallelen Seiten, 
wie der sechste Theil der Höhe zur 
Summe derselben.“ 
Der Schwerpunkt eines Kreis- 
sectors kann auf den eines Kreis 
bogens zurückgeführt werden. Durch 
Linien, welche vom Mittelpunkte ausge 
zogen werden, kann man den Sector in 
unendlich viel gleiche kleine Sectoren 
oder Dreiecke theilen, deren Schwerpunkte 
auf den bezüglichen Radien in der Ent 
fernung vom Mittelpunkte liegen, wo 
c der Radius des gegeben Kreises ist. 
Alle diese Schwerpunkte bilden also 
einen dem gegebenen concentrischen Bo 
gen. In jedem Punkte desselben kann 
man sich die Masse des entsprechen 
den unendlich kleinen Dreiecks denken. 
Ist S der gegebene Bogen, A die zuge 
hörige Sehne, so sind | S, f A diese 
Ausdrücke für den Bogen, in welchem 
die Schwerpunkte libgen, und die zuge 
hörige Sehne. Ist H der Abstand des 
gesuchten Schwerpunktes vom Mittel 
punkte, so hat man also wie oben : 
H 
oder; 
H 
h = 
ha 
_ 
r~ |S’ 
, A 
a — b 
und folglich: 
b* (3 ha — kb) -f- Ql{a 2 — b*) (a — b) 
= a> (3 hb - ha), 
d. h.: 
6i(a-6)(a 2 -b 2 ) = -h{a-b) 3 
oder; 
k a— b 
1= - 
6 a+ 6* 
„Dieser Abstand verhält sich zum Ra 
dius wie die doppelte Sehne zum drei 
fachen Bogen.“ 
Für den Halbkreis ist: 
H - — — - — 
r S 3ti" 
Ein Ringstück zweier con 
centrischen Kreise mit Radien 
r und g ist gegeben durch die Formel: 
Hr* = k (r* — p a ) -f- hg 2 , 
also: