Schwerpunkt.
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Schwerpunkt.
h A/g*-)V\
3 \yG-y-J'
also:
2 (2 y~g - y~G) = h y^ (2 yG -fj) + 4/ - ]/?“) (1>G - ,
woraus sich ergibt:
l_ G —9
4 G -f- y Gg + g
Für den Kegel, dessen Grundflächen die Radien r und q haben , ist also:
j _ h r 2 — o*
4 r 2 + tq + p 4 '
Für den Obelisk, d. h. den von nicht ähnlichen parallelen Rechtecken und
vier Trapezen begrenzten Körper, zeigt sich leicht, dass die Linie, welche die
Mitte beider Rechtecke verbindet den Schwerpunkt enthält. Seien l, b die Seiten
der einen, k, ß die der andern Basis, h die Höhe des Körpers. Dann zerfällt der
Körper offenbar in ein Parallelcpipedon mit Inhalt ßkh, wo der Abstand des
Schwerpunkts von der Grundfläche ist, und ferner in zwei dreiseitige Prismen
U
mit Inhalt:
(b-ß)^, (l-k) ß -~,
fl
wo der Abstand der Schwerpunkte gleich ist, endlich in eine Pyramide
o
mit Inhalt:
(b — ß) (/—I) -g- und Schwerpunkts-Abstand —.
Für den Inhalt des Obelisken ergibt sich hieraus:
(2 hl -j- 2ßk + bk -f Iß} ~ß j
ist k der Abstand des Schwerpunktes von der Grundfläche, so kommt:
/■— bl + ^ß^ + bk + ßl h_
2 bl -j- 2ßk -{- bk -f- ßl 2
und für den Abstand m — — k von dem mittleren Querschnitte:
hl-ßl
m ~ 8 (6+/J) (i -M) + (6 - ß) (l-k) h -
Ein Kugelsector zerfällt in unendlich viele Pyramiden, deren Schwerpunkts-
Entfernung vom Mittelpunkt | des Radius ist.
Eine Kalotte mit fr, also auch mit der Höhe \h, wenn h die Kalottenhöhe
des Sectors ist, enthält also alle Schwerpunkte und der Schwerpunkt dieser Kalotte
ist der des Sectors. Derselbe liegt in der Mitte der Höhe der letzteren Kalotte,
also die Entfernung vom Mittelpunkte ist | r — | h.
Für die Halbkugel ergibt sich somit fr.
Das Kugelsegment hat den körperlichen Inhalt: f7rA 2 (3r — h), der des
Sectors ist: ^nr^h und der des Ergänzungskegels: f nh (r — h) (2r — h), also,
wenn l die Entfernung des Schwerpunktes des Segments vom Mittelpunkte ist:
f r 2 A(2r — ä) = f A (2r — A) (r-A) 2 + -^-A 2 (3r-A),
also:
(2r-h)*
,_i Tr^r
Die allgemeinen Formeln für die Schwerpunkte von Körpern sind in Abschnitt 1)
bereits gegeben.
