Schwimmen. 
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Schwimmen. 
1 1 . 1 , 2 
ar t x 1 x t x< 
Multiplicirt man beide Ungleichheiten mit 
einander, so kommt: 
l > 3 i fl+JÜi ^ a? a + ^4 | 
X 1 X 4 
was unmöglich ist. Es müssen also drei 
Wurzeln positiv sein, wenn alle reell 
sind. Das Prisma hat also höchstens drei 
Gleichgewichtslagen und diese treten ein, 
wenn alle Wurzeln reell, und die drei 
positiven so beschaffen sind, dass die x 
kleiner als a, die y kleiner als b werden. 
Wird das Prisma nun mit zwei Spitzen 
eingetaucht, so ist BDEA = r • ABC, 
also CDE = (1 — r) ABC. Da sich übri 
gens der Schwerpunkt von BDEA mit 
denen beider Dreiecke in einer Graden 
befindet, so bleibt die zweite Bedingung 
unverändert, und man erhält: 
2) x 4 — 2fx* cos « + 2 (1 — r) abfx cos ß 
— (1 — r®) a 2 b 2 = 0. 
Für das Prisma mit gleichschenkliger 
Grundfläche ist 
f c 2 
a~b, ß — et, cos n = —, f 2 — a 2 r . 
r a ' 4 
Also, wenn das Prisma mit einer Kante 
eintauchen soll: 
und für die andern Auflösungen hat man: 
4- — o ^ 
4) x® — x + (1 — r) a 2 = 0. 
Ist das Dreieck gleichseitig, also c — a, 
so wird je nachdem eine oder zwei Kan 
ten eingefaueht sind; 
x — y — a Y r oder x = y = aYl—r 
und die Gleichungen für die andern Auf 
lösungen sind bezüglich: 
Ba „ 
■-¿rX + m 2 = 0 
¿i 
3 (i 
x -f (1 — r) a® = 0. 
xy — ra*, x^—y 2 
{x-y)= 0. 
Es kommt x = y = a Y r als erste Auf 
lösung. Lässt man den Factor x — y 
weg, so bleiben noch die Gleichungen: 
.r -f ra 1 ~ 0. 
Diese Gleichung hat imaginäre Wur- 
f 1 
zeln, wenn r > —. Sie hat gleiche po- 
a l 
f 4 fi 
sitive Wurzeln, wenn r = — , x = — ist, 
rt* a 
woraus dann folgt: 
x — y — n y 3. 
Sie hat ungleiche positive Wurzeln, wenn 
f* 
r < •— ist. Damit sich hieraus Gleich- 
a 4 
gewichtslagen ergeben, müssen die Wur 
zeln kleiner als a sein. 
Werden aber zwei Kanten eingetaucht, 
so wird eine Auflösung: 
x-y-aY1—r 
Die erste hat zwei reelle Wurzeln, wenn 
r < und diese sind kleiner als a, 
wenn r > \ ist. Bei eingetauchter Spitze 
finden also drei Gleichgewichtslage statt, 
wenn r zwischen 4 und £ + T V + tV liegt. 
Die Gleichung 6) hat reelle Wurzeln, 
wenn r > T 7 -g- ist, dieselben sind kleiner 
als a, wenn r < £ ist. Also wenn zwei 
Spitzen eingetaucht sind, gibt es drei 
Gleichgewichtslagen, wenn r zwischen 
4 — jV — tV un( l 4 liegt. 
2) Stabiles und labiles Gleich 
gewicht der schwimmenden 
Körper. 
Damit das Gleichgewicht eines schwim 
menden Körpers stabil sei, muss der 
Druck der Flüssigkeit ihn dann seiner 
ursprünglichen Lage wieder zuführen, 
wenn kleine Verrückungen ihn aus der 
selben entfernen. 
Denken wir uns die Flüssigkeit homo 
gen, und den eingetauchten in Gleichge 
wicht befindlichen Körper aus seiner 
Gleichgewichtslage entfernt, so dass er 
eine kleine Geschwindigkeit erhält. Im 
Falle nun, dass das Gleichgewicht labil 
ist, darf zu keiner Zeit die Entfernung 
aus der Gleichgewichtslage eine beträcht 
liche werden. 
Sei LQM (Fig. 389) der Durchschnitt 
der Oberfläche des eingetauchten Körpers 
mit der horizontalen Oberfläche der 
Flüssigkeit, nach der Störung des Gleich 
gewichts, ANBJ diejenige Linie, welche 
in der Gleichgewichtslage von der Flüssig 
keitsoberfläche begrenzt wird, sei C der 
Schwerpunkt des Ebenenstücks ANBJ 
und b sein Inhalt. Legen wir noch durch 
C eine horizontal Ebene L'NM'J und 
bezeichnen den Schwerpunkt des ganzen 
Körpers mit G, den des Volum V — ADB, 
welches wir uns mit Flüssigkeit gefüllt 
denken, mit O, sei ferner & der Winkel 
von GO und der Vertikalen. Offenbar