Schwingungen. 
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Schwingungen. 
Seien jetzt die Grössen Y nicht gleich 
Null, aber, wie ja überhaupt die Kräfte 
in der Natur, mögen sie nur die Coor- 
dinaten, nicht die Zeit, entwickelt ent 
halten. Da übrigens U sehr klein ist, 
so kann man statt: 
U g (x t , x 2 . . .) 
mit Vernachlässigung von unendlich klei 
nen Grössen zweiter Ordnung; 
U g 0 U «2 • • •) 
schreiben, so dass auch die Grössen U 
Constanten sind. 
Den Gleichungen 5) lässt sich dann 
dieselbe Form geben, als wenn U g = 0 
wäre. Denn setzen wir: 
h = ct i + Vn l 2 = « 2 + '? 2? 
wo k,, cc 2 . . . Constanten sind, und 
bestimmen dies durch die 3n Gleichungen: 
6 ) i/ s + ^s,l ß i+" 1 s,2 f<:s + ** • =0, 
so ergibt sich: 
d*V s 
7) -jjj- = Ag i 7] l +A s 2 r ]2 +... 
Für die rj gilt derselbe Satz, wie für 
die |, dass nämlich: 
(i) , C 2 ) i 
’>3 = % + ?s +••• 
ist, wenn partielle Integrale 
vorstellen, und offenbar haben die j? die 
selben Werthe wie vorhin die £, wenn 
dieAnfangszustände übereinstimmen. Nun 
wird durch Einführung der Kräfte Y 
offenbar die Gleichgewichtslage eine an 
dere, als die, welche für Y =0 statt- 
1 s 
fand, und für diese neue Gleichgewichts 
lage wird s durch die Gleichungen 6) be 
stimmt, wie der Vergleich derselben mit 
Gleichung 5) zeigt. Für die neue Gleich 
gewichtslage ist somit: 
= «D h = «2 • • •> Vi = = • • • = 0, 
c h s d£ s 
die Anfangswerthe von —— und —— sind 
dt dt 
ferner selbstverständlich gleich, und die 
Anfangswerthe von ^ denen von £ ver 
mindert um ß , also: 
Wird ein System aus seiner 
stabilen Gleichgewichtslage sehr 
wenig mit Einführung sehr klei 
ner Kräfte verrückt, so ist die 
Bewegung der Punkte in Bezug 
auf die neue Gleichgewichts 
lage gleich der Bewegung in 
Bezug auf die alte Gleichge 
wichtslage ohne Hinzutritt der 
neuen Kräfte, wenn man dem 
System einen A nf an g s z u s tarn! 
gibt, welcher in Bezug auf die 
alte Gleichgewichtslage sich 
so verhält wie der gegebene in 
Bezug auf die neue. 
Man kann aber offenbar auch setzen: 
Vs ~ £ s + & s , 
wenn die Anfangswerthe von rj s und 
dy s 
—jj den wirklichen Anfangsverrückungen, 
wenn ferner der Anfangswerth von 
dd-g 
.9- = — ß , und von —— = 0 
ss dt 
genommen wird. Da V s = % s ~ a s war. 
Nun ist rtg + xtg die Verrückung von 
der alten Gleichgewichtslage unter Ein 
fluss der neuen Kräfte aber ohne An 
fangsverrückung und Geschwindigkeit, 
w ist der Werth, der sich aus den Glei- 
chungcn 5) für | s ergibt als die Ent 
fernung von der alten Gleichgewichts 
lage, die aus dem wirklichen Anfangs 
zustand mit Hinweglassung der neuen 
Kräfte sich ergibt, und da 
f = ß -)-» 
s s 1 's 
ist, so hat man nachfolgenden Satz: 
Die Bewegung setzt sich aus 
zwei andern zusammen, deren 
eine aus den gegebenen Anfangs 
zuständen ohne Einführung der 
neuen Kräfte, die andere aus 
diesen Kräften ohne Anfangs- 
änderung der Lage und ohne An 
fangs gsges chwin digke i t sich er 
gibt. 
Beide Bewegungen können in unend 
lich viel andre zerfallen, die man wie 
Kräfte zusammensetzt. Für die erstere 
ist dies oben bewiesen, für die letztere 
bemerke man, dass U in eine Anzahl 
Theile zerlegt werden kann, nimmt man 
davon die ersten, dann die zweiten 
Theile u. s. w., so geben, da die Glei 
chungen 6) linear sind, die Summen der 
sich so ergebenden partikularen Werthe 
der ß , . . die Gesammtwerthe dieser 
Grössen. Die so gefundenen Werthe 
von ß t , ß 2 . . . bilden dann die durch 
die neuen Kräfte bewirkten Gesammt- 
verrückungen.