Schwingungen. 453 Schwingungen, 
Es» addiren sich somit {die von den 
Theilen der neuen Kräfte erzeugten 
Wirkungen, 
Offenbar lassen sich für die Gleichun 
gen 5) particulare Integrale von der 
Form finden : 
l s = C s sin ( rt + w ) 
wo C , r, a Constanten sind. Setzt man 
diese Werthe in 5) ein, so erhält man 
Gleichungen, die in Bezug auf die C g 
linear sind, und dieselben bis auf eine 
C t bestimmen. Die noch übrig blei 
bende Gleichung ist nach Elimination der 
C (vergleiche den Artikel: Zurückfüh 
rung der Differenzialgleichungen auf Qua 
draturen) in Bezug auf r 4 von der Ord 
nung k, welche, die Anzahl der Glei 
chungen 5) vorstellt. Im vorliegenden 
Falle des stabilen Gleichgewichts müssen 
die Wurzeln dieser Gleichung alle po 
sitiv sein, weil sonst Exponentialgrössen 
Vorkommen und die | 0 nicht mehr sehr 
klein blieben. Die 3 n positiven Werthe 
von r (die negativen geben nichts Neues) 
geben 3« Werthe für jedes £ und die 
Summe derselben ist das vollständige 
Integral, welches also 6n willkürliche 
Constanten enthalten muss; in der That 
sind dies die Werthe von C L und u, 
welche jedem der Systeme angehörten. 
Diese werden durch die Anfangszustände 
bestimmt. — 
Jedem Gliede von C g sin (»•£+m) ent 
spricht in Bezug auf C g , sin {rt -f- m). 
Dies sind Ausdrücke analog den in der 
Theorie des Pendels vorkommenden, man 
kann daher nach Helmholz’s Vorgänge 
die Bewegungen, welche sie ergeben, als 
Pendelschwingungen bezeichnen. Sind 
f s > t , £ s _j_ 2 die Projectionen der 
Verrückungen eines Punktes, so ist: 
■V- C s + i : £s+2 ” C s :C s+l : C s+2' 
Dies zeigt, dass die Bewegung eine 
gradlinige ist. 
Jede Bewegung besteht aus 
einer Anzahl von Pendelschwin 
gungen, welche gleich der An 
zahl der unabhängigen Coordi- 
naten ist. Diese Pendelschwin 
gungen haben für die einzelnen 
Punkte dieselbe Periode, und 
sind als gradlinig zu betrachten. 
Es ist auch leicht zu sehen, dass 
wenn die r commensurahel sind, das 
System dieselben Zustände durchläuft. 
Schwingungen elastischer Körper. 
(Dynamik.) 
1) Entwicklung der Gleichun 
gen der Elasticität. 
Zwischen den Theilen eines Körpers 
wirken bekanntlich gewisse innere Kräfte, 
welche man Molekularkräfte nennt, und 
die der Art sind, dass sie nur in solchen 
Entfernungen eine Wirkung ausühen, 
welche eine sehr kleine Entfernung von 
einander haben. Diese Entfernung nennt 
man Molekularsphäre. 
Ein Körper heisst nun elastisch, wenn 
ihn die Molekularkräfte in einem stabilen 
Gleichgewichtszustände erhalten, derart, 
dass eine Deformation der Theile die 
Molekularkräfte so ändert, dass die er- 
steren zu kleinen Schwingungen um ihre 
ursprüngliche Lage veranlasst werden, 
wenn nicht neue äussere Kräfte hinzu 
treten, welche ihn in der veränderten 
Lage in Gleichgewicht halten. Ein elas 
tischer Körper ist also gegen die in ihm 
wirkenden inneren Kräfte stabil. Die 
Molekularkräfte oder vielmehr die Ab- 
und Zunahmen in denselben, welche 
durch die Deformation bewirkt werden, 
nennen wir elastische Kräfte, Die Art, 
wie dieselbe zu messen ist, wird später 
gezeigt werden. Auf directe Weise ist 
dies nämlich aus dem Grunde nicht mög 
lich, weil wir über die Natur und die 
Gesetze der Molekularkräfte im Allge 
meinen nur sehr wenig wissen, und da 
her in Bezug auf die Elasticität nur auf 
die Wirkungen derselben angewiesen 
sind. Denken wir uns einen beliebigen 
Punkt M des Körpers als Mittelpunkt 
einer Kugel, deren Radius r der der 
Molekularsphäre ist. Legen wir durch M 
eine Ebene E, welche die Kugel in zwei 
Theile A und B theilt. Von dieser 
Ebene betrachten wir ein Element dE, 
in welchen M liegt als Basis eines Cy 
linders, dessen Höhe gleich r ist, und 
der in A liegt, so werden alle Punkte, 
welche auf diesen Cylinder eine Einwir 
kung ausüben, und auf der Seite der 
Ebene E liegen, wo sich der erstere 
nicht befindet, in dem Theile B der 
Kugel enthalten sein. Die Einwirkun 
gen setzten sich nach dem Parallelo 
gramm der Kräfte zu einer Mittelkraft 
HdE zusammen. Diese Grösse durch 
das Element dE dividirt, also H, bezeich 
nen wir als „ Einheit der elastischen 
Kraft,“ welche im Punkt M auf die 
Ebene E wirkt. Die Einheit der elasti 
schen Kraft ist also von der Lage der 
Ebene E abhängig. 
Es handelt sich jetzt um die Aufstel-