Schwingungen.
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Schwingungen.
lang der allgemeinen Gleichgewichtsglci-
chungcn der Elasticität. Wir denken
uns den Körper in Parallelepipeda ge
teilt, von sehr kleinen Dimensionen,
und deren Seiten den Coordinatenaxen
parallel sind, und suchen die Bedingun
gen, unter welchen ein solches Parallel-
epipedon im Gleichgewichte ist. Die
Punkte desselben werden angegriffen:
1) von gewissen äusseren Kräften, von
denen wir annehmen können, dass sie
für alle Punkte des Parallelepipedon,
wegen seiner Kleinheit gleichmässig sind.
(Sind also die Componenten der auf die
Einheit ausgeübten äusseren Kräfte be
züglich X, ¥, Z, so sind die Summen
derselben, welche auf alle Punkte des
Parallelepipedons wirken, wenn dx, dy,
dz, die Seiten desselben sind, q die Dich
tigkeitist, bezüglich (iXdxdydi-, oYdxdydz,
oZdxdydz) * 2) von den Molekularkräften,
welche zwischen je zwei Punkten des
Parallelepipedons wirken, und von denen
wir nur wissen, dass sie in der Richtung
der Verbindungslinie je zweier Punkte
wirken, und von der Entfernung der
selben von einander allein abhängig sind;
3) von den Elasticitätskräften, die auf
die Begrenzungsebene des Parallelepipe
dons wirken; auch von diesen ist anzu
nehmen, dass sie für alle Punkte der
selben Grenzebene einander gleich sind.
Die Einheiten dieser Elasticitätskräfte
zerlegen wir wieder nach den Axen in
je drei Componenten und seien diesel
ben bezüglich:
Ä, B, C, Ä v B,, C„ A a , B 2 , C 2
in Bezug auf die FZ, ZX, XY paral
lele Ebene, welche vom Anfangspunkt
am weitesten entfernt ist; in der gegen
überliegenden Grenzebenc werden dann
auf die bezüglich nächsten Parallelepipeda
Elasticitätskräfte wirken, deren Einheiten
dx dy, zu multipliciren und danrP die
nach einer Axe hingerichteten zu addiren.
So erhält man die Componenten, die be
züglich nach der Axe der x, y, z ge
richtet sind, gleich:
. dA. . dA,
-r— dx dy dz, -v-r dx dy dz, —z— dx dy dz,
dx J dy dz J
sind:
dA
„ dB
A -
-P dx,
B — x— dx,
dx ’
d x
dA
dB,
A-
ft*”
B 2 --~Xd
dy
dA,
dB,
-¡r*dz,
dz
B *~~dT 0
C-¥ dx,
dx
c
1 dy
„ dC,
dB dB , dB
x— dx dy dz, dx dy dz, ■■ N dx dy dz,
dx dy u oz J
dC, dC dC 2
-— dx dy dz, r— dx dy dz, -r— dx dy dz,
d x J dy J dz J
Als Gleichgewichtsgleichungcn sind nur
solche zu gebrauchen, welche die innern
Kräfte, die die Punkte des Parallelepi
pedons gegen einander ausüben, nicht
enthalten. Solcher Gleichungen gibt es
sechs, es sind die, welche zugleich für
das Gleichgewicht fester Körper gelten,
wenn man die eben bezcichneten iunern
Kräfte nicht berücksichtigt. Es ist dies
ein wichtiges Prinzip, welches man ge
wöhnlich so ausdrückt.
„Ein in Gleichgewicht befindliches Sy
stem bleibt in solchem, wenn man einen
beliebigen Theil des Systems sich fest
denkt.“
Indess ist dies Prinzip nicht, wie ge
wöhnlich angenommen wird, selbstver
ständlich, sondern folgt erst daraus, dass
bei Systemen von den angegebenen Ei
genschaften, die drei Gleichungen von
der Erhaltung des Schwerpunkts und
die von der Erhaltung der Flächen statt
finden, aus welchen die innern Kräfte
eliminirt sind, und welche im Uebrigen
mit den für feste Körper bestehenden
Gleichungen übereinstimmen. Wir glaub
ten diesen Gegenstand etwas genauer
erörtern zu müssen, um eine Schwierig
keit zu vermeiden, die uusers Wissens
sämmtliche Werke mechanischen Inhaltes
überspringen.
Die drei Gleichungen der Erhaltung
des Schwerpunktes sind nun in unserm
Falle:
dz,
1)
dA dA. dA
ex+xz+i£+
und wegen der Gleichheit der Wirkung
und Gegenwirkung sind dieselben Elasti
citätskräfte jedoch mit umgekehrten
Vorzeichen nach den Punkten des
betrachteten Parallelepipedons selbst ge
richtet. Um die Summe dieser Kräfte,
welche sich auf das Parallelepipedon
selbst erstrecken, zu haben, sind diese
Ausdrücke bezüglich mit dy dz, dx dz,
QY +
qZ +
d
dB
d x
dC
dz
= 0,
dy + dz ’
+ ^ + ¥ a - = 0.
d x dy dz
Bei diesen Gleichungen ist, wie aus
drücklich zu bemerken', auf die Natur
der Elasticität gar nicht eingegangen;
sie würden richtig sein, welcher Art
diese Kräfte auch wären, vorausgesetzt,
