Schwingungen. 455 Schwingungen. 
dass sie ins Gebiet der Molekularkräfte 
fallen. 
Die drei andern Gleichungen drücken 
aus, dass die Momente der einzelnen 
Kräfte senkrecht auf den drei Axen der 
Null gleich sind. 
Nehmen wir als Momentenaxe die der 
Axe der x gleich gerichtete Grade, wel 
che durch den Mittelpunkt oder, was hier 
dasselbe ist, den Schwerpunkt des Pa- 
rallelepipedons geht. 
Denken wir dann das Parallelepipe- 
don uns fest, so gehen die Resultanten 
der äusseren Kräfte alle durch diesen 
Schwerpunkt, fallen also aus der Mo- 
mentensumme aus. Die Kräfte, die auf 
die Grenzflächen wirken, vereinigen sich 
in dem Mittelpunkte derselben, die Kräfte, 
die auf die auf X senkrechten beiden Grenz 
flächen wirken, gehen also durch die 
Axe und geben ebenfalls die Momente 
Null; von den übrigen sind : 
tL4. 
¿1. ~ A i 
dA 
A - - A *+-si ii 
der Axe parallel, 
„ dB. , 
r — C -4- dz 
L,, e a + — äz, 
gehen durch die Axe, also auch diese 
Kräfte haben die Momente Null. Es 
bleiben also nur noch übrig: 
dC 
C., -C. +-g^dy, 
B,, 
welche bezüglich die Entfernungen von 
der Axe haben: 
dy dy dz dz 
¥’ 2’ H’ “ 2~ ; 
mit Vernachlässigung des unendlich Klei 
nen zweiter Ordnung erhält man dann: 
wenn man auf den Sinn, in welchen die 
Kräfte eine Drehung um die Axe be 
wirken würden, Rücksicht nimmt, und die 
Krafteinheit mit dx dz oder dx dy mul- 
tiplicirt, je nachdem die Ebenen, auf 
welche sie wirken, den Axen der x und 
y parallel sind: 
2 C\ dx dy dz — 2 B 2 dx dy dz = 0, 
d h.: 
2) C t =B 2 , C=A 2 , B = A t . 
Eie beiden letzten Gleichungen erhält 
man in derselben Weise wie die erste, 
wenn man die Momentenaxe bezüglich 
den Axen der y und z parallel nimmt. 
Die Gleichungen 2) haben einen 
wesentlich andern Charakter als die 
Gleichungen 1). Bei ihnen ist näm 
lich auf die Eigenschaften der Elastici- 
tätskräfte bereits eingegangen. Da näm 
lich aus diesen Gleichungen die äussern 
Kräfte ganz ausfallen, so sind es ledig 
lich Bedingungsgleichungen, welche er 
füllt werden müssen, wenn anders die 
Elasticität in Verbindung mit äussern auf 
den Körper wirkenden Kräften unter 
Umständen im Stande ist, den deformir- 
ten Körper in Gleichgewicht zu halten. 
Dass der Elasticität diese Eigenschaft 
zukomrat, ist als durch die Erfahrung 
bestätigt zu betrachten. 
Die Gleichungen 1) und 2) geben nun: 
nv dA dB dC 
3) p x +ä—Hr +ä~ = 0 ’ 
' ** o x oy dz 
i,F+ di + 'fy + ~- 0 ’ 
_ dC dC. , 
£>Z +— + — 1 + 
u x dy 
dz 
d Sl 
dz 
= 0. 
Wenn der Körper in Bewegung ist, so 
sind die äussern Kräfte X, Y, Z zu er 
setzen durch die verlornen Kräfte: 
d 2 x d~y d 2 z 
dlÄ’ ~~dÄ*' ~ Jp' 
Diese Gleichungen gelten für das In 
nere des Körpers, was aber die Ober 
fläche anbetrifft, so lässt sich nicht bei 
jeder Gestalt derselben der Körper in 
Parallelepipeda zerlegen. Wohl aber 
findet in jedem Falle auch an der Ober 
fläche eine Zerlegung in Tetraeder statt, 
wo drei Kanten bezüglich den Coordi- 
natenaxen parallel genommen werden 
können. Es sind also die Gleichungen 
für das Gleichgewicht und die Bewegung 
eines solchen noch aufzusuchen. In die 
sem Falle sind die der x Axe parallelen 
Componenten der Elasticitätskräfte, wel 
che auf die drei den Coordinatenebenen 
parallelen Tetraederflächen wirken be 
züglich : 
A dy dz A l dx dz A 2 dx dy 
2 ’ 2 ’ 2 ’ 
auf die vierte Fläche mögen Kräfte wir 
ken, deren Einheit die Componenten hat, 
U, V, W-, ist v der Flächeninhalt dieser 
vierten Fläche, er, ß, y die Cosinus der 
Winkel, welche ihre Normale mit den 
Axen macht, so ist: