Schwingungen. 
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Schwingungen. 
dx dz dx dz 
VCi ~ 2~ ’ = 
Es ist nun : 
, T A du dz , B dx dz , C dy di 
^ 2 + 2 ^ 2 
+ qX dx dy di — 0; 
für X wäre im Falle der Bewegung 
zu setzen. Dieser Ausdruck verschwin 
det aber, da er mit dx dy dz multiplicirt 
ist, gegen die unendlich Kleinen zweiter 
Ordnung, v, dy dz u. s. w., also mit 
dy dz 
~2~ 
Berücksichtigung der Werthe von 
u. s. w., erhält man, wenn man auch die 
Gleichungen für die andern Componenten 
bildet: 
4) Acc + Bß + Cy =U, 
Bu -j- B yß -f- Cj y zz V 
Ca+ C L ß + C.,y= W. 
Es sind dies ebenfalls Gleichungen, welche 
die Elasticitätskräfte erfüllen müssen, 
vermöge ihrer Eigenschaft, in Verbindung 
mit äusseren Kräften den Körper in 
Gleichgewicht halten zu können. 
Diese Gleichungen repräsentiren übri 
gens noch eine wichtige Eigenschaft der 
Elasticitätskräfte. 
Mögen U t , V t , W L die Componenten 
der Elasticitätskraft sein, welche auf ir 
gend eine Ebene wirkt, welche mit den 
Coordinatenebenen Winkel macht, deren 
Cosinus ct l ,ß l ^y l sein sollen, dann ist: 
Act , + Bß t 4- Cy l — U t 
ßc( L + Byß, + C lYi = V L 
Ca[+C v ß l+ C, yi 
wenn nämlich diese Ebene mit dem oben 
betrachteten Tetraeder durch denselben 
Punkt geht. 
Multipliciren wir nun diese Gleichun 
gen bezüglich mit a, ß, y und addiren, 
multplicircn dann ferner die Gleichun 
gen 4) bezüglich mit « t , ß l} y t und ad 
diren ebenfalls, so ergibt sich durch Ver 
gleich beider Systeme: 
U l( i+ V,ß + W l7 = 1/k l + Vßy+Wy t , 
d. h.: 
„Wenn man die Elasticitätskraft von 
E und E v , welche in einem Punkte auf 
zwei durch derselben gehende Ebene 
wirken, jede nach der Normale der an 
dern Ebene zerlegt, so sind die Resul 
tate gleich,“ ‘ 
Die Gleichungen der Elasticität hän 
gen nunmehr von den sechs Functionen 
A, B, B(\ Cy, C 2 ab. Um diese zu 
bestimmen, bedarf man neuer Eigen 
schaften der Elasticitätskräfte. 
Sei r die Entfernung zweier mate 
riellen Punkte von einander, tritt eine De 
formation ein, so wird diese Entfernung 
r-j- p sein, und die Elasticitätswirkung, 
welche zwischen beiden Punkten statt 
findet, irgend wie von p abhängen, also 
die Form haben: 
M = a 0 + ctyQ + « s p + ff 2 p 2 + ■ . . 
Da aber, falls keine Deformation eintritt. 
M zz 0 ist und wegen des kleinen Wer- 
thes von p die hohem Potenzen ver 
nachlässigt werden können, so ist zu 
setzen: 
M ZZ ao zz p/(r), 
da n auf irgend eine Weise von r ab 
hängen wird. D. h. die Elasticitätswir 
kung zwischen zwei Punkten ist der Zu 
nahme ihrer Entfernung proportional. 
Seien nun vor der Deformation die 
Coordinateu eines Punktes x, y, z, nach 
derselben x-\-u, y + v, z-j-ic, so ist 
wenn man die Zunahme für einen be 
nachbarten Punkt mit dx, dy, dz, du, 
dv, die bezeichnet; 
(»’ + p) 2 = {dx + i/y) 2 + (dy + dv) 2 
+ (dz + dw) 2 , 
aber u, v, xe sind verschwindend klein 
gegen x, y, 2, also auch du, dr, die, p 
gegen dx, dy, dz, r; berücksichtigt man 
noch die Gleichung: 
r 2 = dx 2 -\-dy 2 + di 2 , 
so kommt: 
rp = dx du -f- dy dv + dz dw, 
oder: 
dx 2 du dy 2 dv dz 2 die 
^ r dx r dy r dz 
dx dy /du dv\ 
r \dy dx)' 
Da die Deformationen nur gering sind, 
so sind auch —, — . . . nur sehr kleine 
dx dy 
Grössen. 
Denkt man sich jetzt wieder ein Ele 
ment einer Ebene und einen durch das 
Element gehenden auf der Ebene senk 
rechten Cylinder, so werdeu die Anzie 
hungen, welche von der Molekularsphäre, 
um welche sich der Cylinder nicht he-