Schwingungen. 460 Schwingungen.
д
дх'
' , д и , о, dv dw (dv dw\ (dw du\ , (du , du\
> — « 2 ~—h ß 2 у- +у 2 — h ßy I 5—+ t~ ) -f- ay ( — |-r-| 4" «/S I n;—h "H - 1 •
ox dy dz ' \ds ay / 1 \cx dz' 1 \dy dx)
Aehnlichc Gleichungen ergeben sich für die übrigen Differenzialquotienten. Nun
ist wegen der constanten Elasticität:
A' = L9 + 2 iU %-,
ox
& bleibt unverändert, dies ist leicht aus den Formeln zu folgern, aber auch aus
der Bedeutung von .9- ergibt es sich sogleich. Führt inan aber den Werth von A r
ein, wie er oben gefunden wurde, und setzt für A, B L , die Werthe, so ist:
.. , n , r> / , du dv . „ dw\ nF (dv oid\ (dw du\
Ä _Aif + 2 i u(«-^ + /S g- + y ¿¡■) + 2e[/iy(^ + 5 -) + «y( 55 -+§ i )
, /du du\l
+ "4%+dJ-
Es muss aber, wenn man diesen Ausdruck mit dem vorletzten vergleicht, und auf
du'
den Werth von Rücksicht nimmt;
i“
s ein, so dass man schliesslich hat
6)
du „ . л dv
А — Я 9 -f- 2ц — > ß, = а 9 + 2u x~,
• ox ‘ dy
_ л dw (dv dw \
C,-i» + 2 iU — , t.-i'hi+fy)’
o =iU fe + 5i-), *=,,(*!+£).
1 \oa; dz/ 1 \oy ox/
У
Diese Gleichungen in Verbindung mit den Gleichungen 3) geben dann die par
tiellen Differenzialgleichungen;
, d ,9 d 3 u
7) (k + fu) -Tf + flJ 2 U+ qX - Q —
, „ <5,9 , ö 2 v
, . <5,9 „ d 2 w
( A + i“) -^+f^ xc + q z = e^- 2 .
wo statt der äusseren Kräfte die verlorenen Kräfte gesetzt sind. Im Falle des
Gleichgewichts sind die Ausdrücke rechts der Null gleich. Das Symbol J 2 ist
definirt durch die Gleichung:
d 2 s d 2 s d 2 s
J2s= d^ + df 2+ 7w-
Die Gleichungen 7) nehmen auch die Form an:
7a)
dy
Wenn die äusseren Kräfte X, Y, Tj von Punkten ausgehen, die nach dem
Newton’schen Gesetze anziehend wirken, also, wo die Anziehung umgekehrt dem
Quadrate der Entfernung proportional ist, gibt es bekanntlich eine Function F,
welche die Gleichung verificirt:
d 2 F d*F d 2 F
/du
dtA
d .
/dw
dn AI
d 2 u
\dy
dx/
dz
Vda:
' Ä4-/J
l + ? x = i*dF
(dv
dw\
d.
(du
du\"j
Vü
~Yy)
dx
(»-
dx) J
(dw
du\
d
/dv
dw\l
1 i r, d 2 w
xd#
~d~z)
dy
Id 2
dy)}
l + f z = «ö7.-
