Schwingungen. 
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Schwingungen. 
kann aber sein, dass diese schon die 
obige Formel enthält, so dass man vier 
oder sechs Auflösungen hat. Z. B. für 
m = 5, k — 5 hat man ; 
s = 10, 7i = 5, s = 11, n = 2, 
also vier Auflösungen, für »re = 5, 6 = 13, 
s = 26, 7i = 13, s - 29, n = 2, 
s = 22, Ti = 19, 
also deren sechs. 
Ist »re — « 2 + ß 1 — «, 2 4- ß v 2 ein dop 
peltes Argument, so kann man für s und 
n die obigen Werthe und auch die, wo 
aß mit a'ß f vertauscht sind, nehmen, also 
wegen der obigen Bemerkung, dass auch 
ak und ßk, n'k und ß'k Auflösungen 
. 2'ia: 
« sin -~j- 
sind, hat man deren acht oder zwölf. 
Diese Betrachtungen lassen sich leicht 
auf beliebig vielfache Argumente aus 
dehnen. 
Es handelt sich jetzt um die Bestim 
mung der Knotenlinien. 
Für s = 1, ti = 1, folgt nur x = l, 
y = l, also die Seiten des Quadrats. 
Für s = 2, n — 2 (ein Ton dem offen 
bar die Octave des vorigen Grundtons 
entspricht), hat man für die Knotenlinien 
x — y — 
also zwei Grade, die durch den Mittel 
punkt des Quadrats gehen. 
Sei s = 2, »i=l, also »re = 5. 
Der entsprechende Ton hat zwei Glie 
der, setzt man t — 0, so erhält man : 
7)=° 
. ny ... VX . 2 ny . 71X 
sm -j- -f- 0 sin — sin —— = sin sin 
l l l É 
. 77W / nx , 
in ^fl COS —j- -j- 0 COS 
für die Knotenlinicn. Ausser den Seiten erhält man noch als Knotenlinie, die 
durch die Gleichung: 
77 X , 717/ _ 
fl cos -j- + o cos -j- = 0 
gegebene Linie. « und b hängen vom Anfangszustande ab, für 6 = 0 ergibt sich 
x = also eine Grade, für rt = 0, y=.—. Für h— — a hat man y = x, also 
die eine Diagonale, für h = a, y + x = 1 also die andere. 
Dagegen entspricht jedem andern Werthe von — eine Curve, die durch den 
Mittelpunkt geht, wo sie einen Inflexionspunkt hat. 
Für s = 3, »i=3, (die Duodecime des tiefsten Tones) findet nur ein Glied 
statt. Man hat als Knotenlinien sechs Grade, welche das Quadrat in neun kleinere 
theilen. Für s = 3, n = 1 ergibt sich: 
. 3nx . ny , , . nx . 3ny 
a sin -y- sm -j + o sin — sm —=■ = 0, 
oder ; 
Der letzte Factor gibt für 6=0 wieder sechs Grade, die das Quadrat in neun 
andre theilen, für 6 = 0 zwei den y parallele Linien; für 6 = — a beide Diago 
nalen. Für 6 = a wird: 
n nx 2 , _ ny 2 . . 
2 cos ——f- 2 cos —j- = + 1. 
Diese Gleichung stellt eine geschlossene Curve vor, welche jede Diagonale in 
zwei Punkten schneidet, sie bietet das Bild eines Kreises, der in der Nähe der 
Diagonalen etwas abgeplattet ist. 
Für s = 3, >i = 2 hat man : 
. 3nx . 2ny , , . 2nx . Bny 
a sm —y sm ——f- 6 sm -y sm —~ = 0. 
oder : 
. nx . ny 
sm T sm T 
= 0 
ny 
4 cos 
nx 2 
~T 
1^ + 6 cos ^ ^4 cos 
nj2_ 
i 
und: