Schwingungen. 
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Schwingungen. 
Was das directe Problem anbetrifft, so gelingt die Bestimmung der Coeffi- 
cienten von 3) nur in dem Falle, wo tj L , r/ s Constanten sind. Dann ist 
f=g = h= 0, und es bleibt nur: 
u = f 0 x, v — g 0 y, rc = h 0 z, 
C l =B l = B = 0, & = f 0 -f- 9„ + + c o 
Xc 0 -f- 2¡uf 0 = y ,, Ac 0 + 2 ug 0 = <f 2 , Ac 0 -f 2 
'f 3> 
also; 
00 
3A + 2u : 
y« ~ ¿ c o 
2,u ’ 
/o 
_ y i ^ c o 
2,u 
_ V s - 
,7 0 o 
Au 
Allen inneren Punkten entspricht dann dasselbe Elasticitätsellipsoid und gleiche 
Hauptelastici täten. 
Von den Schwierigkeiten, welche das Gleichgewicht eines elastischen Parallel- 
epipedons darbietet, ist die Theorie der Schwingungszustände frei, mit welcher 
wir uns jetzt zu beschäftigen haben. 
Wir denken uns den Anfangspunkt der Coordinaten in einer Ecke des Parallel- 
epipedons, die Axen wieder den Seiten parallel, die wir gleich a, b, c setzen. 
Es sind dann die Gleichungen der Seitenflächen bezüglich; 
x — 0, y ~ 0, z — 0, x = a, y = b, z= c. 
Die Gleichungen 3) des vorigen Abschnittes sind zu integriren. Wir wollen 
zunächst annehmen, dass v und w auf dem ganzen Körper verschwinden, dann 
hat man: 
d 2 w d 2 w /f) 2 M <5 2 m\ . d /du\ . . „ s d /du\ „ 
Es ist also — von y und z unabhängig, d. h.: 
u — U + U(, > 
wo U eine Function von x und t, U 0 eine solche von l, y und z ist. Die erste 
unserer Gleichungen zerfällt dann in zwei andere: 
d t* ~ dx* ’ 
dt 2 
(ö*v 0 ö*u 0 \ 
\ dy 2 dz' 1 ) 
Die erstcre gibt die longitudinalen, die letztere die transversalen Schwingungen. 
Beschäftigen wir uns zunächst mit den longitudinalen Schwingungen. 
Um sie zu erreichen müssen Anfangsbewegungen parallel der Längenrichtung 
erregt werden, also B = C — C\ = 0 sein. Ist der Körper an den Enden frei 
und in der Mitte fest, so hat man ein particuläres Integral von der Gestalt: 
U = cos (2s + 1) — cos (2s + 1) 
a a 
wo s eine beliebige ganze Zahl ist; in 
der That ist dieser Ausdruck der Null 
gleich für x = — , und verificirt die 
Differenzialgleichung, auch ist 
B = C= C L = 0. 
Die Ausdrücke A, ß t , C 2 enthalten: 
sin (2s -j-1)'~~ 
als Factor, sie verschwinden also für 
x ~ 0 und x ~ a hier, d. h. an den zwei 
Seitenwänden, welche die Längenrich 
tung begrenzen , sind die elastischen 
Kräfte gleich Null, und der Werth von 
U zeigt, dass hier die Schwingungsam- 
plitüde ein Maximum ist. 
Die Höhe des Tones h ist dem um 
gekehrten Werlhe der Periode gleich, 
also: 
* = (2» +1) A. 
Die Anzahl der Knoten ist 2 s+1. Das 
Verhältniss der verschiedenen Töne, 
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