Schwingungen. 
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Schwingungen. 
nimmt, h die Höhe des Quecksilbers, 
g die Beschleunigung der Schwere ist, 
Po = 9 h - 
Während der Bewegung sei nun y die 
Verdichtung des Gases, also: 
P = p 0 (1 + y) 
und wenn die Temperatur t constant 
bliebe: 
Die Gleichung 2) aber wird, wenn 
man q = po (1 + y) setzt: 
J-i + s [ (1 + 3 _ r s [<* + 
+ Ä[( 1 + ’')rj = °* 
oder wenn man für y einsetzt, und wie 
oben M = 0 nimmt: 
~ = — = 1 + Y also P = 9 h (1 + y)- 
Po Po 
Durch die Verdichtung erfolgt aber 
eine Wärmezunahme d-, die man pro 
portional der Verdichtung y annehmen 
kann, es ist also 
i9 = Ay, 
Um die Grösse A zu ermitteln, sei « der 
Ausdehnungscoefficient, c die specifische 
Wärme des Gases bei constantem Druck, 
c l die bei constantem Volum. Es er 
gibt sich dann, (vergleiche den Artikel: 
Wärmelehre): 
Nach dem Gay-Lussac’schen Gesetze 
aber ist: 
P_ _ l) (1 + y) [1 +« (t+ ■?>)] 
Po D (1 -f nr) 
oder, wenn man die höheren Potenzen 
von a vernachlässigt: 
P - 9 h (1 + Y + “'V e 9 h (l + y , 
woraus dann folgt: 
dp _ ghc dy 
P ~ Dc l 1 +y 
Setzt man dies in die Gleichung 1) und 
integrirt, so kommt: 
9 hc 
Dc v 
ig(l + y)= - 
wenn die äusseren Kräfte x, y, z gleich 
Null sind. 
Sind die Geschwindigkeiten wie hier 
sehr klein, so kann man die Quadrate 
dw du du. . , 
von -t-, xr, -e- und somit M vernach- 
ox dy oz 
lässigen und y = lg (1 + y) setzen : 
ghc _ d(f 
Dcj ^ dt’ 
i oäc . , 
oder wenn —— — a 2 gesetzt wird: 
3) 
1 d(p 
a 2 dt ’ 
- (l 2 ( d ^t, d ^L, da v\ 
dt 2 ~ a \ dx* + dy 2 + ~d^h 
Dies ist die Gleichung für die kleinen 
Bewegungen luftförmiger Körper; man 
kann sie auch, wenn man wie im vori 
gen Artikel die Bezeichnung: 
d 2 d 2 d 2 
dx* di/ 2 ' dz 2 ~~ ^ 
einführt: 
4) 
d 2 (f, 
~dt T 
Die Gleichung ist dieselbe, wie die in 
Abschnitt 5) des vorigen Artikels ge 
fundene Formel 5), welche die Verbrei 
tung der longitudinalen Schwingungen in 
einem festen Mittel von constanter 
Elasticität gab; es ist dann für Si, a, für 
y, F zu setzen. F war die Function, 
deren Differenzialquotienten nach x, y, z 
die Verschiebungen irgend eines Ele 
mentes waren, und diese sind also für 
die Geschwindigkeiten u. u, tc zu sub- 
stituiren. 
2) Schwingungen der Luft in 
einer cylindrischen Röhre. 
In einer engen cylindrischen Röhre 
kann angenommen werden, dass sich die 
Elemente nur parallel der Cylinder-Axe 
verschieben, die wir als Axe der x an 
nehmen, indem die Elemente, welche 
der Cylinderoberfläche angehören, auf 
derselben zu bleiben genöthigt sind. Es 
wird dann die Grösse von y und z 
unabhängig, und man hat: 
1) 
wo 
d~7 _ , ¿V 
dt 2 ~ dx 2 ’ 
1 dff, 
^ a 2 dt 
ist. Es ist dies dieselbe Gleichung, 
welche in Abschnitt 1) die Bewegungen 
einer elastischen Saite gab; es könnte somit 
auf die dort gegebenen Resultate ver 
wiesen werden. Indess ist bei gasförmi 
gen Körpern eine grössere Auswahl in 
den Anfangs- und Grenzbedingungen