Schwingungen. 
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Schwingungen. 
möglich, weshalb es angemessen scheint, 
die Aufgabe hier selbstständig noch ein 
mal zu behandeln. 
Wir werden also die Grenzbedingungen 
hier auf verschiedene Weise bestimmen. 
A) Die Röhre sei nach beiden Rich 
tungen unendlich. Es ist dann nur noch 
nöthig die Anfangszustände zu bestimmen. 
Sei 
2) || = *p{x), y = x( x ) für 1 - 0- 
Es sind also rp und x die anfängliche 
Geschwindigkeit und Verdichtung. 
Das allgemeine Integral der Glei 
chung 1) ist: 
(f — F{x + at) + f{x — al) 
und man hat also für t = 0: 
p' («) + f 0*0 = 00*0 
p' 0*0- f 0*0 ~-n0*0» 
woraus sich ergibt: 
?(*)-«*(*) 
a) F' (x) = ^ 
№)a iW+sW, 
/' und F' sind also völlig bekannte 
Functionen, und man hat: 
b) u — f {x — at) + P' (x -f at) 
ay — f f (x — at) — F f (x -)- al). 
Möge sich jetzt die anfängliche Er 
schütterung nicht über die ganze Röhre, 
sondern nur über eine Strecke von x — 0 
bis x — l erstrecken, so ist: 
ip (x) = x (X) = [0 für X < 0 und X > l. 
Sei zunächst x > l, so ist auch x+at > l 
und wegen der Werlhe von F' {x) und 
f'{x), F' (x + «<);= 0; es ist also all 
gemein : 
m = f {x + at), ay — f'(x — nt), 
es mit anderen Worten mit einer lon 
gitudinalen Welle zu thun, und l ist die 
Wellenlänge. 
Sei jetzt x < 0, so ist; 
f {x — al) = 0, 
also : 
u - F r (x 4- at), ay = — F r (* + at) 
u — — ay. 
Es muss aber, wenn dieser Ausdruck 
nicht der Null gleich sein soll, sein : 
0 < x -f- at < l, 
d. h. t liegt zwischen —— und -—-• 
a a 
Die Resultate sind wie oben, nur schreitet 
die Welle in Richtung der negativen x 
fort. 
Sei endlich 0> x > l\ es werden dann 
beide Glieder von u und y nicht Null, 
so lange x — at < l und x + al > l ist. 
Findet nur eine dieser ungleichen Zeiten 
statt, so wird der entsprechende Theil 
von u und y verschwinden. Man sieht 
also, dass beide Wellen, die mit nega 
tiver und die mit positiver Geschwindig 
keit diesen Theil der Röhre durchlaufen. 
Auch sieht man sehr leicht, dass eine 
der beiden Wellen überhaupt nicht zur 
Entstehung komme, wenn die Bedingung: 
0 ( x ) i a X ( x ) - 0 
zwischen den Functionen xp und x für 
jeden Werth von x zwischen 0 und l 
stattfindet. 
B) Die Röhre gehe nach einer Seite 
hin ins Unendliche und sei nach der an 
dern durch eine feste Ebene geschlossen. 
Die feste Ebene möge den Abscissen- 
werth x = 0 haben. Zu den Bedingun 
gen des vorigen Falles kommt noch die, 
dass die Elemente, welche diese feste 
Ebene berühren die Geschwindigkeit 
Null haben. Es ist also: 
also: 
u — ay. 
3) = 0 für x = 0, 
0 X 
Diese Ausdrücke verschwinden nur 
dann nicht, wenn: 
0 < x — at < l 
ist, d. h. wenn t zwischen 
l , x 
- und — 
a 
liegt. In diesem Zeiträume allein ist 
also das in Rede stehende Element in 
Bewegung. Dieselbe dauert eine Zeit 
— hindurch und pflanzt sich der Richtung 
der Röhrenaxe nach mit der constanten 
Geschwindigkeit — — a fort. Man hat 
während die Gleichungen 1) nnd 2) 
richtig bleiben. Die Functionen tp{x) 
und x (%) sind jetzt nur für positive x 
gegeben. 
Das allgemeine Integral: 
if> = F (x + at) 4- f{x — at) 
gibt nun wegen Gleichung 3): 
F' (at) + f (— at) — 0, 
für jeden Werth von t, somit also: 
F'(*) + r(-*) = Q. 
Während die Gleichungen a) nur die 
Werthe von F’ (x) und f {x) für posi