Schwingungen. 
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Schwingungen. 
„ , , 21 . , E) Die Röhre sei nach beiden Seiten 
Die Periode — ist doppelt so gross, begrenzt> aber offen . 
Es ist 
0 für x — 0 und x - l. 
als die Schwingungsdauer einer Luftwelle 
von der Länge l der Röhre, und da sich d/p 
die Schwingungsdauer wie die Wellen- 
länge verhält, so macht die Luft in der 
Röhre Schwingungen, die an Dauer der kommt für jedes x: 
einer Welle von der doppelten Röhren- p' ( x ) = f (— x), F' (l -f x) = f’ {l — x); 
länge entsprechen. — Bemerkt man, dass , , . , „ , . 
jedes Glied der Fourrier’sehen Reihe eine aas der , Gleichung folgt, wenn 
pendelartige Schwingung und somit einen man x 4* ui a; se z . 
Ton gibt, so sieht man, dass ausser dem F' (2l-\-x) = x) = F' (x). 
Gmndton, dessen Schwingungsdauer 21 , , . , ,. „ 
ist, noch die Töne zur Entstehung kom- Es haben also wieder u und y c ic e- 
men können, deren Schwingungsdauer, riode fj und s j nd völlig bekannt, 
bezüglich 4, u-, 4 • - • des Grundtons ist a 
(Octave, Duodccimc, zweite Octave u. s.w.), Bei 'der Anwendung der Fourrier’- 
ganz wie im vorigen Abschnitte. sehen Reihen folgt leicht: 
2 nnx 
u — -j- JS cos 
— — ¿sin 
ix / . annt rl . . . nna 
— a sin —j- j x («) sm — da 
annt , , nna , \ 
-f cos —j- J i/j («) cos —j- daj 
( annt Cl ... nna , 
cos —~— I x («) sm —— an 
l ./ () t 
P l nnaj \ 
I ( ft ) cos ~y da j ■ 
, 1 . annt 
H sm—Y 
a l 
Die Schlüsse sind dieselben wie im vorigen Falle. 
F) Die Röhre sei nach einer Seite geschlossen, nach der andern offen. 
Man hat dann: 
= 0 für x — l, 
~ =: 0 für X zz 0, 
ox 
dx 
also; 
F'(x) + f'(-x)=z 0, 
F'(l + x)=f'(l-x). 
Wird in der letzten Gleichung x + / für x gesetzt, so kommt: 
F'{2l + x) = f'(~x)= -F'O) 
und hieraus: 
F'iil+x) = F’{x). 
4 l 
Die Periode ist also in diesem Falle 41 für u und — für y, also die, welche 
a 
einer Welle von der vierfachen Länge der Röhre entspricht. 
Führt man Fourrier’sche Reihen ein, so ist zunächst zu setzen; 
. (2n -f /) nx / . . (2n -f-1) nat (2n -f 1) nat\ 
* = - S1 ” 2 / ( A sm 21 — + B cos 2r~;• 
Diese Gleichung genügt allen Bedingungen mit Ausnahme des Anfangs 
zustandes. Damit diese Bedingungen auch erfüllt seien, ist zu setzen; 
1B cos (2 n + 1) ^ = ifj(x) 
1A sin(2n-fl)|^ = — «*(»). 
Diese Reihen unterscheiden sich von den Fourrier’schen scheinbar dadurch, 
dass nur die ungraden Vielfachen des Arguments 7 ~j Vorkommen. 
Ä l