Seilcurve. 
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Seilcurve. 
gibt noch eine wichtige Eigenschaft der Kettenlinie. Es ist nämlich: 
T S = ts '’ 
wenn l der Winkel ist, den die Tangente der Curvc mit der Axe der x macht, 
und es findet also zwischen Bogenlänge und Tangentenwinkel die Beziehung statt: 
12) 
a = — tg l. 
Verstehen wir unter s, die Bogenlänge der Evolute der Kcttenlinie, so ist die 
Bezeichnung für letztere bekanntlich : 
da . « 
s, = — d. h. = 
dl 1 e cos l 3 
Will man die Gleichung derselben u und v in rechtwinkligen Coordinaten haben, 
so ist zu setzen: 
also; 
=/ 
cos Ids 
_ 2c n sin Idl 
~ * J cos l* ’ 
2c * 
»=/,i 
2c n 
“ = ~f 
c / si 
s \co 
sin lds lt 
2c n sin l-dl 
] 
sin l 
Icos l 1 
+ *tg 
cos l 3 
1 — sin l 
f cos V 
aus diesen Ausdrücken lässt sich leicht l eliminiren. 
Ist r der Krümmungsradius der Kettenlinie, so hat man 
c 0 
da — rdl, also: — = r cos 
n l\ 
rv ; 
í cosf 3 ' 
Der Krümmungsradius ist also umgekehrt proportionnl dem Quadrate des 
Cosinus des Tangentenwinkels. 
Die Kettenlinie löst auch eine wichtige Aufgabe der Variationsrechnung. 
Suchen wir nämlich diejenige unter allen Curven von gleicher Länge, welche 
den tiefsten Schwerpunkt hat. Sind f, tj die Coordinaten des Schwerpunktes, 
x, y die laufenden Coordinaten, so ist: 
% = f y ds - 
Es muss also: 
j'yds ~ j*yYdx 1 -\-~dy 3 
ein Minimum sein, unter der Bedingung, dass -S = Ydx* -f- dy % constant bleibt. 
Nach den Regeln der Variationsrechnung ist für d'iesen Fall: 
d j*\y + Ä) Ydx 2 + dy 3 = 0, 
wo X eine Constante ist. Man erhält: 
df (y + A) Vdx 2 -f dy 2 = f* [ds - d ((y 
und es ist also zu setzen: 
also: 
ds = d[(y + i)&), 
dy 
s = (ü + !.) Ts + /,, 
wo /u eine neue Constante ist, und neue Integration gibt: 
(s- (M ) 3 = (j / + A) 3 + >/ 2