Simpsonsche Regel. 
Fig. 393. 
512 
Simpsonsche Regel. 
also der ganze Flächeninhalt näherungs 
weise: x 
F - G/o + -j-j/j) -g-. 
Es ist offenbar ein Näherungsausdruck 
für j ydx, wenn y 0 , y 2 , y 2 der An 
fangs-, mittlere und Endwerth für y sind, 
und man kann diesen Ausdruck auch 
für cubische Messungen anwenden, z. B. 
wenn y 0 , y v y 2 Querschnitte, x die 
Höhe vorstellen. 
Von einem allgemeineren Standpunkte 
haben wir diese Formeln in dem Artikel; 
Quadraturen abgeleitet (Abschnitt: me 
chanische Quadratur). 
Hat man statt drei Ordinaten deren 
n +1: 
U o > V i > V j • • • y. n i 
so ist offenbar, indem man das Verfahren wiederholt; 
F= i. (3 /o + 4 2 / i + y« + 2 / i + %s + 2G +y* + • • •). 
woraus sich ergibt; 
F~ J ydx- ^ [yu+y n + ±{y i -\-y. i + • ■ ■ +y n _ l ) + 2(y i + y*+- ■ ■ + y n _ 2 )l 
wo die Anzahl der Ordinaten ungrade sein muss. 
Die erste einfache Formel kommt auch in der Stereometrie vor, wo sie zu 
weilen genau richtig ist. 
Versteht man unter y 0 . y,, y 2 Querschnitte, unter x die Höhe, so hat man 
den im Artikel; Raumlehre (Abschnitt 15, VI) enthaltenen Satz, der für alle von 
zwei parallelen Ebenen und graden Linien begrenzten Körper gilt. — Jedoch gilt 
dieser Satz auch für gewisse von zwei parallelen Grundflächen im übrigen von 
krummen Linen begrenzte Körper. 
Legt man nämlich irgend einen den Grundflächen parallelen Querschnitt durch 
den Körper, dessen Inhalt gleich u, z die Entfernung von einer Grundfläche, findet 
dann zwischen u und z die Bezeichnung statt: 
u=za 0 + a^ + c^z* + rt s & 3 
dann ist offenbar, wenn h die Entfernung der Grundflächen von einander, J der 
körperliche Inhalt des betrachteten Körpers ist: 
ph /¿i 
= y (« 0 -fa l 2 + rt. J s* + a,2»)<i»= a 0 h-\-a i ^ + « 2 y + « s 
li*_ 
4 ‘ 
Seien jetzt y und G die Inhalte der beiden Grundflächen, y der des in der 
Mitte zwischen beiden liegenden Querschnittes, so ist da y, y, G bezüglich den 
Werthen 0, ~ und h von z entsprechen: 
u 
0 = «o» 
h 
y — a o + a i + ~r k* + 
. - , h s , 
2 1 4 ' 8 
G = a 0 + a v h -f a 2 h' -\- a 3 h 3 . 
woraus sich leicht ergibt; 
J=^r(y + 4y+G).