Maschinenlehre.) 
Fig. 37. 
he in A auf Linie OK er- 
und K zu finden, kann 
eine beliebige Linie GH 
eser ein Loth AN errich- 
einem beliebigen Punkte N 
h M und C Linien ziehen, 
hnittspunktc 0 und K mit 
ielpunkte der Zahnkreise 
Linie OK irgend eine seh- 
als eine Drehung um den 
;ungen zweier Punkte 00 1 
snn sei Winkel 0 l 0A = &, 
i kleine Bogen mit Halb- 
KK l cos 7 t , 
Rad. (Maschinenlehre.) 45 
Rad. (Maschinenlehre.) 
sind. Nimmt man noch D willkürlich 
auf OK an, so sind OD, KD deren Halb 
messer. 
Wird AN auf die andere Seite von 
GH gelegt, so ist einer der Zahnbogen 
DE concav, während der andere convex 
ist. — Bestimmen wir jetzt die Lage von 
0 und K. Sei < CAK = 7 der Winkel, 
um welchen die gemeinschaftliche Nor 
male der Zähne von der Centrallinie ab 
weicht, AN=K, AO — x, AK—x,, so 
sind die Lothe von den Mittelpunkten 
der Theilkreise auf die Normale der 
Zähne; 
MG = r sin 7, CH = i\ sin 7 
und die Abschnitte: AG — r cos 7, 
AH = r t cos 7 also 
GO — r cos 7 — x, KH — !)x l —r l cos 7. 
Aus den ähnlichen Dreiecken ONA und 
OMG ergibt sich: 
AO __ GO 
AN~ GM' 
also: 
x r cos ,7 — x 
k r sin 7 ’ 
woraus dann folgt: 
kr cos 7 
k + r sin 7 
und ebenso: 
AK HK 
AN~ CH' 
also; 
x y x y — r y cos 7 
k r y sin 7 ’ 
mithin: 
kr. cos 7 
Xy ~ T— 7— . 
k—Vy sin 7 
Ist die eine Zahnfläche DE concav, so 
ergibt sich: 
kr cos 7 _ kr yCos 7 
v sin 7 — k' 1 ry sin 7 + ft 
Setzt man hier k — r sin 7, so geht der 
Bogen DE in eine grade Linie über. 
Sind k und 7 gegeben, so ist für die 
sen Fall der Radius r, den wir hier 
k 
mit o bezeichnen p = — , und die Halb- 
^ s sin 7 
messcr aller Räder mit concaver Zahn- 
k 
fläche also stets grösser als — . Setzt 
6 sin 7 
k 
man den kleinsten Werth p ~ —— für 
*• sin 7 
k in unsre Formeln ein, so ergibt sich: 
rg cos 7 r. g cos ,7 
= , Xy = . 
r — p »'i + p 
Sind s die Theilung, y, n, n v die Zähnen 
zahlen bei Halbmesser p, r, r t , so kommt: 
2ng 2nr 2nr. 
1/ — > — /»» — ‘ 
also: 
vil S . vn. 
cos 7, 3;,^= - 
, ^ cos 7. 
n~v2n 1 tiy + »/ 2n 
Setzt man also 7 = 72°, und die kleinste 
Anzahl der Zähne v = 12, so ergibt sich: 
n.s 
, x y = 0,4943 - 
x = 0,4943 . 
«—12 1 ’ »y +12 
Diese letztere Construction rührt von 
Willis her. 
Fig. 38.