Statik. 549 
Statik. 
8) 
d J 
dx 
2Y+S, 1T + S t7r =0 
1 dy d y 
2Z + S y ri+ s ^-° 
Wird aus diesen Gleichungen S k und S a 
eliminirt, so. bleibt nur noch eine Glei 
chung übrig, welche jedoch mit; 
f — 0 und <f — 0 
zu verbinden ist, so dass man wieder 
drei Gleichgewichtshedingungen hat. Man 
hat somit fünf Gleichungen, aus denen 
man <S 2 , x, y, z, mithin auch 
d _[ d _l d _I d JL 
dx' dy’ dz’ dx’ dy' dz 
bestimmen kann. Es ist also auch Q\ 
und Q 2 der Lage und Grösse nach be 
kannt. Durch Vereinigung dieser bei 
den Seitenkräfte erhält man den Druck, 
welchen die Linie ausübt, der Richtung 
und Grösse nach. 
Den Gleichungen 7) und 8) lässt sich 
aber auch eine Gestalt geben, aus wel 
cher der Druck ganz eliminirt ist. 
Wenn man nämlich die Gleichungen 7) 
oder 8) bezüglich mit dx, dy, dz multi- 
plicirt und addirt, dabei die Gleichungen, 
welche durch Differenziiren der Bedin 
gungsgleichungen entstehen, berücksich 
tigt, nämlich : 
9) -J-dx + ~dy + -J-dz — 0 
dx dy J dz 
d Jldx + d Jidy + d ^dz = 0, 
dx dy y 1 dz 
wovon die letztere nur im Falle einer un 
beweglichen Linie besteht, so erhält man : 
10) dx2X+dy2Y + dz2Z, =0, 
eine Gleichung, die auch für einen freien 
Punkt aus den Gleichungen 2) folgt. 
In diesem Falle sind dx, dy, dz ganz 
beliebig, also die Coefficienten dieser 
Ausdrücke einzeln der Null gleich, wie 
dies die Gleichungen 2) selbst ange 
ben. Im Falle der Flächen sind dx, dy, 
dz durch die erste Gleichung 9) verbun 
den; eliminirt man nun dz, so bleibt 
noch eine Gleichung übrig, in der dx 
und dy beliebig sind, also ihre Coeffi 
cienten einzeln der Null gleich gesetzt 
werden können. Auf diesem Wege er 
hält man die beiden Gleichungen, welche 
mit /"=0 verbunden das Gleichgewicht 
bestimmen. Im Falle einer unbeweg 
lichen Linie bestimmen die beiden Glei 
chungen 9) die Verhältnisse von dx, dy, 
dz aber völlig, und nach Elimination der 
selben liefert 10) nur eine Gleichung, 
die mit f ~ 0 und </> = 0 zu verbinden 
ist. Mit Hülfe der Bedingungen bestimmt 
also 10) immer das Gleichgewicht des 
Punktes. Die Gleichung 10) •wollen wir 
noch etwas verändern. 
Denkt man sich den Punkt A unend 
lich wenig aus seiner Lage verschoben, 
und zwar in ganz willkürlicher Richtung, 
wenn dieser Punkt frei ist, auf der Fläche 
oder Linie selbst dagegen, wenn er sich 
auf einer solchen befindet, sei ds sein 
Weg, so sind dx, dy, dz die Projectionen 
desselben nach den Axen, wo im Falle der 
Fläche die erste, im Falle der Linie beide 
Gleichungen 9) diese Differenziale mit ein 
ander verbinden. Sind A, ¡u, v die Cosinus 
der Winkel, welche eine beliebige Grade U 
mit den Axen macht, so ist die Projection 
von ds auf diese Grade, die wir mit dp 
bezeichnen wollen, gleich der Summe der 
Projectionen von dx, dy, dz auf U, (denn 
ds, dx, dy, dz bilden ein geschlossenes 
Viereck). Wir haben somit: 
dp ~ Adx + /udy -f vdz. 
Sei nun U die Mittelkraft aller auf den 
Punkt A wirkenden Kräfte, also: 
i/A = 2X, U/u = 2Y, Uv = 2Z, 
so nimmt die Gleichung 10) die Form an: 
U (Adx -Y ¡udy -f- vdz) = 0, 
oder mit Hülfe der eben gefundenen 
Gleichung: 
11) Udp = 0. 
Um diese Gleichung so in Worte zu 
fassen, führen wir noch eine Bezeich 
nung ein. 
Jede unendlich kleine Verschiebung ds 
eines Punktes lässt sich als einer grad 
linigen und gleichmässigen Bewegung ent 
sprechend also als eine Geschwindigkeit 
auffassen. 
Wir nennen eine solche Geschwindig 
keit virtuell, wenn sie, wie hier ds, nur 
eine mögliche nicht eine durch die auf 
den Punkt A wirkenden Kräfte hervor- 
gebi'achte ist, jedoch so, dass die ent 
sprechende Bewegung den Bedingungen 
des Systems genügt, also hier den Punkt 
nicht von der Fläche oder Line entfernt. 
Nennen wir ferner Moment der virtuellen 
Geschwindigkeit eines Punktes das Pro 
duct der Mittelkraft aller ihn angreifen 
den Kräfte in die Projection der virtuel 
len Geschwindigkeit auf dieselbe, so 
drückt die Gleichung 11) aus: „dass das 
Moment der virtuellen Geschwindigkeit