Statik. 
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Statik. 
Man kann aber unter andern den Punkt 
0, so bestimmen, dass l-j = a, m l = 6, 
«, - c, die Axe des mittleren Paares 
der Kraftrichtung parallel ist In diesem 
Falle ist die veränderliche Componeute 
der Null gleich, mithin das mittlere Paar 
das kleinste mögliche. Also : 
„Wenn der Angriffspunkt der Mittelkraft 
so bestimmt ist, dass die Axe des 
mittleren Paares der Mittelkraft parallel 
ist, so ist ersteres ein Minimum.“ 
Um den Punkt O t zu bestimmen der 
diese Kigenschaft hat, muss in den Glei 
chungen 5) /, = a, m i = I), w, ~ c ge 
setzt werden. Von diesen Gleichungen 
wird jedoch eine durch 6) ersetzt, welche 
die Gestalt hat: 
Rr (Ja + mb + ne) — Po, 
also das Moment des mittleren Paares 
gibt Die übrigen beiden Gleichungen 5) 
bestimmen die Coordinaten f, rj, £ von O t 
derart, dass dieser Punkt willkürlich auf 
einer Graden liegt, welche mit den Axen 
dieselben Winkel macht, (deren Cosinus 
a, b, c sind), als die Mittelkraft. Also: 
„Damit das Paar ein Minimum sei, 
können die Kräfte durch jeden Punkt 
einer gewissen der Mittelkraft parallelen 
Graden gelegt werden.“ 
Diese Grade nennt man Centralaxe. 
Sie ist gegeben, wenn man einen Punkt 
in ihr kennt, z. B. den, wo sie die Ebene 
xy schneidet; da hier £ = 0 ist, so ge 
ben die beiden letzten Gleichungen: 
V 
Pga — Rrl 
P()b — Rrm 
cQ 
Uebrigens kann man O, so wählen, 
dass dem Momente Pp alle Werthe zu 
kommen,= die grösser als der Minimum 
werth sind, da man l x a -f- mj> -f- ti l c 
dann angemessen bestimmen kann. Ist 
dieser Ausdruck gleich Null, d. h. die 
Axe des Gegenpaares auf der Mittel 
kraft senkrecht, so wird das Moment Pp 
unendlich gross. 
Auch kann die Lage der Axe des 
Paares beliebig gewählt, d. h. l lf m l , n l 
irgend wie bestimmt werden, dann ist Pp 
bekannt, und zwei der Gleichungen 5) 
zeigen dann, dass alle dieser Lage ent 
sprechenden Angriffspunkte 0, auf einer 
der Mittelkraft parallelen Graden liegen. 
Also: 
„Für alle Punkte einer der Mittelkraft 
parallelen Graden ist das mittlere Paar 
constant.“ 
Setzt man £ = 0, so hat man: 
Pp^— Rrl „ Ppm t — Rrm 
cQ ’ C Q ’ 
für den Punkt, wo die entsprechende 
Grade die Ebene yi schneidet. 
Für alle Paare übrigens, wo 
/,« + m l b ff- m,c 
constant ist, d. h. deren Axen denselben 
Winkel mit der Centralaxe machen, ist 
das Moment Pp des mittleren Paares 
dasselbe. 
Um das Wichtigste des eben Gesagten 
nochmals zusammenzufassen, so lassen 
sich die einen festen Körper angreifen 
den Kräfte stets in eine Kraft und ein 
Paar zusammensetzen, jedoch auf unend 
lich viel Arten. Bei allen diesen ist 
constant die Richtung und Grösse der 
Kraft so wie die Componente des Paares, 
deren Axe der Mittelkraft parallel ist, 
veränderlich der Angriffspunkt der Kraft, 
so wie diejenige Componente des Paares, 
deren Axe auf der Mittelkraft senkrecht 
ist. Letzteres bleibt jedoch unverändert, 
wenn man den Angriffspunkt der Kraft 
innerhalb der von ihrer Richtung gebil 
deten Graden verlegt. 
Hieraus folgt auch der allerdings selbst 
verständliche Satz, dass sich eine Kraft, 
die einen festen Körper angreift, beliebig 
in ihrer Richtung verlegen lässt. — Wie 
die Theorie der Paare und der festen 
Körper auf einfachem synthetischen Wege 
sich ergibt, enthält der Artikel Paar. 
Hier ist diesen Betrachtungen eine ana 
lytische Form gegeben. 
In besondern Fällen kann das Moment 
des mittleren Paares verschwinden, dann 
lassen sich alle Kräfte in eine Mittel 
kraft vereinigen. Suchen wir hierfür 
die Bedingungen. 
Offenbar reicht dazu aus, dass das 
kleinste Paar verschwindet. Gleichung 6) 
zeigt, dass in diesem Falle entweder 
Rr = 0 ist, d. h. dass sich alle Kräfte 
in eine durch den Anfangspunkt der 
Coordinaten gehende Mittelkraft vereinen, 
oder dass 
la -f- mb + mc = 0, 
d. h. die Ebene des sich ergebenden 
mittleren Paares der Mittelkraft parallel 
ist. Es muss sich die Kraft Q und das 
Paar Rr dann immer in eine Kraft ver 
einigen. Die Linie, in welcher dieselbe 
liegt, geben zwei der Gleichungen 5), 
wenn man die rechte Seite der Null 
gleich setzt. 
Mögen jetzt alle Kräfte in einer Ebene 
liegen, und nehmen wir diese als Ebene 
der XY, dann ist 
2j—2j — . .. — 0, Z,= Z, = ,.. = 0, 
in diesem Falle werden von den Glei 
chungen 1) und 3) die letzten, von den