Statik. 
Statik. 
Gleichungen 2) und 4) die beiden letzten 
identisch, so dass die Gleichgewichtsbe 
dingungen nur drei sind: 
SX -- 0, SY - 0, S{Xy - Yx) = 0. 
Die Mittelkraft und das mittlere Paar 
geben die Gleichungen: 
SX = Q cos t 
SY — Q sin r 
S{Xy-Yx) = Rr, 
wo t der Winkel der Mittelkraft mit 
den Axen ist, das mittlere Paar liegt 
natürlich in der Ebene selbst, also: 
l = m — 0, n= 1. 
Die Bedingungsgleichung 
la 4- mb nc — 0 
ist hier immer erfüllt, da c = 0 ist. 
Also wird eine Mittelkraft sich mit 
Ausnahme eines gleich zu erwägenden 
Falles immer ergeben. 
Die Linie, in welcher dieselbe liegt, 
bestimmen die Gleichungen 5), welche 
sich auf eine reduciren: 
Rr 
~Q = *1 C0S 1 — l 8111 T ' 
Die Gleichung 
la + mb 4- nc = 0 
wird aber in einem Falle das kleinste 
mittlere Paar nicht verschwinden lassen; 
dies findet statt, wenn gleichzeitig 0 = 0 
ist, d. h. wenn die Mittelkraft verschwin 
det. In diesem Falle geben die Glei 
chungen 5): 
l — l l} m = m t , n = n t , Rr — Pq. 
Das mittlere Paar ist also unabhängig 
von der Auswahl des Punktes O,. Glei 
chung 6) gibt dann keinen Sinn mehr. 
Hieraus folgt, dass wenn alle Kräfte 
in einer Ebene liegen, sie immer sich 
in eine Kraft vereinigen lassen, mit 
Ausnahme des Falles, wo diese Mittel 
kraft verschwindet, wo dann eine Ver 
einigung in ein Paar stattfindet. 
Wir wollen jetzt annehmen, dass alle 
Kräfte parallel seien. Die Gleichungen 
8) und 4) werden dann, da «, ß, y für 
alle Kräfte gleich sind: 
7) aSP - Qa, ßSP - Qb, ySP ~ Qc. 
8) '¿SPy — ßSPx - Rrn, 
ßSPz — ySPy - Rrl, 
ySPx — uSPz — Rrm. 
Erhebt man die drei Gleichungen 7) ins 
Quadrat und addirt sie, so ergibt sich: 
Q* = (xpy, 0 = sP, 
a = «, h = ß, c — y, 
also die Mittelkraft ist den Seitenkräften 
immer parallel und gleich ihrer alge 
braischen Summe. 
Multiplicirt man die Gleichungen 8) 
bezüglich mit y, «, ß und addirt, so 
kommt: 
la + mß 4- «y — 0, 
d. h. die Kräfte lassen sich immer in 
eine Kraft vereinen, wenn nicht XP = 0 
ist. Schliessen wir diesen Fall aus, so 
geben für unsern Fall die Gleichungen 5); 
9) ß2Pz - ySPy = IP {iß - ny) 
ylPx - alPz = 2P{iy - c«) 
aXPy - ßSPx = SP {ria - £ß), 
welche die Linie bestimmen, in welcher 
die Mittelkraft liegt. Diese Gleichungen 
werden aber identisch, wenn man setzt: 
ÌSP — SPz, iSP=zSPx, t]SP — SPy. 
Diese drei Gleichungen bestimmen einen 
Punkt, dessen Lage von den Grössen 
«, ß, y ganz unabhängig ist. D. h. : 
„Wenn ein fester Körper von nur 
parallelen Kräften angegriffen wird, deren 
algebraische Summe nicht Null ist, so 
gibt es immer eine Mittelkraft, welche 
durch einen Punkt geht, dessen Lage 
unabhängig von der Richtung der Kräfte 
ist, also sich nicht ändert, wenn man die 
Kräfte in ihren Angriffspunkten derart 
dreht, dass sie parallel bleiben.“ 
Im Falle die Kräfte den Massen pro 
portional sind ist dieser Punkt der Schwer 
punkt (vgl. den Artikel: Schwerpunkt). 
Im Allgemeinen nennen wir ihn den 
Mittelpunkt der parallelen Kräfte. 
Nimmt man die auf den parallelen 
Kräften senkrechte Ebene als die der 
x, y, so ist a = ß = 0, y — 1, und die 
Gleichungen 9) werden: 
SPy — rjPS, SP.x = ÌSP. 
Diese Gleichungen bestimmen den Punkt, 
in welchem die Mittelkraft die Ebene xy 
schneidet, und auch die Projection des 
Mittelpunktes auf diese Ebene. Offen 
bar kann man die Ebene xy auch durch 
den Mittelpunkt selbst legen. — Nimmt 
man diesen als Anfangspunkt der Coor 
dinate, so wird : 
I = >7 = C = 0, 
also : 
SPx = SPy = SPz = 0. 
Liegen alle parallelen Kräfte in einer 
Ebene, und nimmt man diese als die der 
xy, so hat man :