Statik.
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Statik.
i denen wir je-
brauchcn.
ikt von A X B(\
den oben ange-
diese unendlich
hmässig zu be-
In wirkend dem
eit geben, deren
Axen X, Y, Z
xerschnitt, cf die
, so haben wir
ch über A X BC X
xglich:
d'Ztds.
Ipannungen sind,
nkrecht auf C x ,
welche Richtung
ist und mit den
ären Cosinus
dz
ds
ise Spannung, so
X:
pannung ist ent-
md die Zunahme
enbar einer Ver-
xge um ds, so
der Axe der x
ke ergeben sich
xenten.
der entsprechen-
• Kräfte der Null
die drei Gleich-
dx
ds
cjy\
dsJ
= 0,
e dieser Gleichun-
im Artikel: Seil-
ls kam darauf an,
x, die Vereinigung
3 Punkte zu ver-
constant, so fällt
weg.
ht eines Punktes,
ä Körpers von un
endlich kleinen Dimensionen drei Glei- denen eine Dimension sehr klein sei,
chungen nöthig sind, nach Elimination die also von zwei parallelen unendlich
yon P aber nur zwei verbleiben, so sind nahen Oberflächen begrenzt ist. Denken
die Gleichungen 1) nur unter der Be- wir uns in irgend einem Punkte der einen
dingung ausreichend, wenn für jeden un- Oberfläche eine Normale, von welcher
endlich kleinen Theil der Linie noch eine die andere ein Stück h abscbneidet, so
dritte Beziehung stattfindet. Dies ist in ist h die Dicke der Fläche. Wir legen
der That der Fall, wenn der Körper un- jetzt zwei Schaaren von Ebenen durch die
ausdehnsam ist, denn seien x, y, z die Fläche, deren die eine der Ebene xz, die
Coordinaten von A, x x , y t , z x die von andere der Ebene yz parallel ist. Je
B, so ist: zwei von diesen Ebenen schneiden ein
unendlich kleines Parallelepipedon aus,
ds s = {x—#,) 2 + (?y— y t )*+ (z — &|) 3 = 1* auf dessen vier Grenzflächen, die den
_ , . , „ T .. , Ebenen der xz und yz parallel sind,
einer Constante gleich. Ware der Kor- Spannungen wirken, welche nach der
per zugleich ausdehnsam, so wäre aus piäche selbst gerichtet sind. Dies findet
den Gesetzen der Ansdehnsamkcit die 0 ff en bar aus ähnlichen Gründen wie bei
dritte Gleichung zu entnehmen. —- Auf ( | er biegsamen Linie statt,
diese Weise kann man zu den Gleichun- Die au f di e e 5ne xz parallele Ebene
gen der elastischen Linie (vgl. den Ar- wirkende Spannung zerlege sich nach
tikel: Schwingungen elastischer Körper) ( ] en Axen in - An, - Bn, - Cn, wo n
gelangen. der Inhalt der Grenzfläche ist, so wer-
Gehen wir jetzt zu den biegsamen den die auf der parallelen Grundfläche
Flächen, d. h. zu den Körpern über, bei wirkenden Spannungen sein:
. , ^AllJ
An -j—r— dx,
ox
K I ()Bn '
Bn + —— ox,
ox
dCn ,
Cn -|—;— dx,
dx
und sind — A l n l , — B x n x , — C x n x die auf die neue yz parallele Ebene wir
kenden Spannungscomponenten, so hat man für die parallele Ebene:
. dA x n,
A v n \ H—sr — rf y>
B x n x dy,
dC L n x
dz
dy * dy
Seien noch n, ß, y die Cosinus der Winkel, welche die Normale mit den
Axen macht, so hat man, da die senkrecht auf die Fläche gerichtete Componente
verschwindet:
2) Aa + Bß+Cy = 0, A l a + B t ß + C i y = 0.
Eine der Axe der z parallele Linie zwischen beiden parallelen Oberflächen
hat die Länge —, und es ist:
r
mithin ist:
n — thdx, n x — thdy.
Sind X, Y, Z, die sich auf die Körpereinheit erstreckenden Kraftcomponenten,
so ist die Summe aller sich auf das unendlich kleine Parallelepipedon ei-streckenden;
Xt(_hdxdy, Y^h dx dy, ZtQhdxdy,
wenn p die Dichtigkeit, also tho dx dy
die Masse des Parallelepipedons ist. Man
kann hier alle sechs Gleichungen an
wenden, die für beliebige Systeme gelten
und die bei den festen Körpern ent
wickelt sind. Von den drei Momenten
gleichungen gibt jedoch nur diejenige ein
Resultat, welche die der Ebene xy pa
rallelen Momente enthält. Der Bequem
lichkeit wegen denken wir uns, wie dies
ja nach dem Obigen immer geschehen
kann, das Parallelepipedon, das als ho
mogen zu betrachten ist, auch fest. Die
Spannungen vereinigen sich dann bezüg
lich in der Mitte der Seitenflächen, die
Kräfte X, Y, Z in der Mitte des Parallel
epipedons; verlegen wir in dieselbe auch
den Anfangspunkt der Coordinaten, so
ist das bezügliche Moment, da X, Y, Z,
A, C, B x , C x die Momente Null haben:
dy dx
2“’ T
Undy — A x n x dx — 0,
sind nämlich die Entfernungen
