Statik. 
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Statik. 
wo denn die Einwirkungen an der Grenze 
je zweier solcher Theile eine Rolle spiel 
ten und gewisse bekannte Gesetze für 
die an den Grenzen stattfinden Spannun 
gen stattfanden. Es ist aber möglich, 
mit Hinzunahme der zuletzt angeführten 
Bedingungen zu Gleichungen zu gelan 
gen, welche für alle in der Natur vor 
kommenden Systeme nothwendig und 
ausreichend, wobei ferner alle die Span 
nungen, welche keine Bewegungen be 
wirken, sondern eben nur die Zustände 
des betrachteten Systems (seine Festig 
keit, Flüssigkeit, u. s. w.) eliminirt, und 
durch die Gleichungen, welche ebendiese 
Zustände ausdrücken, ersetzt sind. 
Diese wichtigen Gleichungen sollen 
hier entwickelt werden. Zunächst wollen 
wir der obigen Bedingung aber noch 
eine allgemeinere und sehr wichtige Form 
geben. 
Seien m, m, die Massen zweier Punkte, 
r ihre Entfernung, so ist die von m auf 
m, wirkende Kraft gleich m • m,f{r), 
und die von m l auf m wirkende gleich 
— m'tn l f(r). Sind x, y, z die Coordi- 
naten von m, und x,, y„ die von mp 
so zerfällt die erstere Kraft in die Com- 
ponenten: 
tmn i f (r) , 
mmj{r) y ~„ yi , 
) — — . 
V 
Mit Hülfe der Gleichungen: 
( Jf -*») 1 +(y--yi)*+(»-*i)*= r ' 
und ihrer Differenziale: 
dr _ x—jej dr y—y , dr i — 2 t 
dx r ’ dy r ’ <5 z r 
kann man hierfür schreiben, wenn man 
y (r) — m,m f f{r)dr 
setzt: 
dif (r) de/ (r) dy (r) 
dx ’ dy ’ ds 
und, wie sogleich zu sehen, sind die 
Componenten der von m, nach m wir 
kenden Kraft: 
d<4 (r) »r/ (r) dff (r) 
dx, ’ dy, ’ dz, 
Hieraus folgt, dass, wenn von allen 
Punkten des Systems, das aus n Punk 
ten bestehen soll, auf m eine Einwir 
kung stattfindet, (wobei die von gewissen 
Punkten ausgehenden auch der - Null 
gleich sein kann) diese Einwirkungen 
sich nach den Axen in drei Componen 
ten zerlegen von der Gestalt: 
d(J dU dU 
dx ’ dy ’ dz ’ 
wo 
U ~ mm, j f(r)dr + mm 2 f f(r)dr, 
+ .. . + mm I f(r . Wr 
1 n J ' ' n—l n— i’ 
und r, r,, r t . . . »• ! die Entfernung 
der einzelnen Punkte von m, ferner: 
wii, m, ... in 
1 ’ 2 n 
ihre bezüglichen Massen sind. 
Man kann aber auch setzen: 
U — Jm m f f(r )dr , 
v p,v’ 
wo unter m , m die Massen je zweier 
p q 
beliebigen Punkte des Systems, r ^ 
ihre Entfernung ist. Denn in allen Glie 
dern der Summe, wo nicht m = m ist, 
p 
werden, da 
r ~(x —x ) a + (v — V ) a + (* — z ) a 
p, q K p q' yi, p J q' 1 v p q' 
die Differenzialquotienten nach x, y, z 
der Null gleich sein, so dass die ent 
sprechenden Theile in den Componenten 
dU dU dU 
dx ’ dy ’ dz 
nicht Vorkommen. Dies gilt für alle 
Punkte des Systems, man hat also als 
Componenten der auf Punkt x g , y g , z 
wirkenden Spannungen, die Grössen: 
dU dU dU 
D. h.: Es gibt eine Function von U, 
welche allein von den Coordinaten der 
Punkte des Systems abhängt, derart, dass 
die Componenten aller auf einen Punkt 
des Systems wirkenden inneren Kräfte 
die partiellen Differcnzialquotienten dieser 
Function nach den Coordinaten dieses 
Punktes sind. Diese wichtige Function 
U wird Kräftefunction genannt, und 
eine solche ist unter der obigen Vor 
aussetzung bei den in der Natur vor 
kommenden Systemen immer vorhanden. 
Es wirken nun ausserdem auf die Punkte 
des Systems noch äussere Kräfte, die