Statik. 
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Statik. 
Kräfte einwirken, so kann genau genom 
men das Gleichgewicht nur dann unun 
terbrochen erhalten bleiben, wenn die 
auf jeden Punkt wirkenden inneren und 
äusseren Kräfte, die Resultante Null haben. 
Denn bringt man die inneren Kräfte mit in 
Rechnung, so ist ja jeder Punkt als frei zu 
betrachten, und da sich dieselben in 
Gleichgewicht halten, so müssen die äus 
seren nothwendig Bewegung erzeugen. 
Indessen tritt hier folgender Fall ein, 
der in der Rechnung als Fall des Gleich 
gewichts betrachtet werden muss. Es 
tritt Bewegung ein, dadurch werden die 
Punkte aus der Gleichgewichtslage ge 
drängt ; nach einer als unendlich klein 
zu betrachtenden Zeit und in einer Lage, 
die sich von der anfänglichen nur un 
endlich wenig unterscheidet, sind aber die 
innern Kräfte eben durch veränderte Lage 
so modificirt, dass wieder Gleichgewicht 
herrscht. Es ist also keine sichtliche 
und der Rechnung zu unterwerfende Aen- 
derung eingetreten, und somit das Gleich 
gewicht als erhalten zu betrachten. Dies 
soll jetzt durch Rechnung ausgedrückt 
werden. Beziehe sich das Differenzial 
zeichen () auf den Uebergang von der 
Gleichgewichtslage zu der unendlich na 
hen Lage, welche durch die kurze Be 
wegung, die nach dem Obigen stattfindet, 
erzeugt wird. Nachdem Ruhe wieder 
eingetreten ist, hat sich dann die Kräfte 
function U verwandelt in U-\-dU, und 
folglich wird die Gleichung 1) die Ge 
stalt haben : 
dU+Ö<W + 2(Xdx + Ydy + Zdz) = 0. 
Wegen der anfänglichen Gleichgewichts 
lage ist aber dll=0 nach Gleichung 2), 
Die beliebige durch ff ausgedrückte 
Verschiebung kann nun derart beschränkt 
werden, dass sie einen Uebergang von 
einer Gleichgewichtslage zur andern an 
gibt, also d für ff geschrieben werden 
muss. Dann ist auch cdll = 0, wie sich 
ergibt, wenn man in die Gleichung 3) für 
ff, <5 setzt, also : 
4) 2 (Xdx + Ydy + Zdz) = 0. 
Diese Gleichung ist, wie wir gleich 
sehen werden, fürs Gleichgewicht nicht 
nur nöthig, sondern auch ausreichend, 
daher die allgemeine Form der Gleich 
gewichtsgleichungen. Sie wird das Prinzip 
der virtuellen Geschwindigkeit genannt. 
Um diesen Namen zu rechtfertigen ist 
die Gleichung 4) einer leichten Trans 
formation zu unterwerfen. 
Wie die Verschiebung auch gedacht 
sei, so wird jeder Punkt m einen un 
endlich kleinen Bogen ds zurücklegen, 
er wird diese Bewegung mit einer Ge 
schwindigkeit verrichten, die nach dem 
• • d s 
in Abschnitt 1) Gesagten gleich v = — 
ist, -wenn unter t die Zeit verstanden 
ist. Es gibt aber hier v keine, wirklich 
dem Punkte ertheilte Geschwindigkeit, 
sondern nur eine den Bedingungen des 
Systems nach mögliche, die wir als vir 
tuelle Geschwindigkeit bezeichnen. 
Seien jetzt «, ß, y die Cosinus der 
Winkel, welche die Temperatur des 
Bogenelementes ds mit den Axen macht, 
also: 
dx — ads, dy — ßds, dz — yds. 
Sei P die Resultante der Kräfte, welche 
auf den Punkt m wirken, I, p, v die 
Cosinus ihrer Winkel mit den Axen, 
also : 
X=P)., Y=P H , Z = Pv, 
folglich : 
Xdx + Ydy -f- Zdz = («A + ßp + yv) Pds. 
Sei noch ff der Winkel, welchen die 
Kraft P mit der Bahn ds macht, also: 
cos ff = «A + ß t u + yv 
und 
Xdx -f- Ydy -f- Tjdz — Pv cos 9dt, 
Die Gleichung 4) wird dann : 
5) 2 (Pv cos ff) = 0. 
Pv cos ff ist das Produkt der in m wir 
kenden Kraft in die Projection der vir 
tuellen Geschwindigkeit auf dieselbe. 
Dieses Product wird Moment der vir 
tuellen Geschwindigkeit genannt, und die 
Gleichung 4) oder 5) .drückt somit aus, 
dass die Summe der Momente der vir 
tuellen Geschwindigkeiten verschwindet. 
Um zu zeigen, dass die Gleichung 4) 
zum Gleichgewichte auch ausreichend ist, 
denken wir uns das System aus «Punkten 
bestehend. 
Es sind dann, wie früher gezeigt wurde, 
3n Gleichungen erforderlich. Wie das 
System auch beschaffen sei, so lässt sich 
der Zustand desselben durch gewisse, 
die Coordinaten der einzelnen Punkte 
enthaltende Gleichungen definiren, deren 
Anzahl p sein soll, p ist dann kleiner 
als 3«, weil, wenn p = 3« ist, jede 
Coordinate sich constant ergeben würde, 
also die Punkte unbeweglich wären. 
Diesen p Gleichungen sind die Verschie 
bungen, welche durch d ausgedrückt sind, 
unterworfen und keinen andern Bedin 
gungen, während also die p Gleichungen 
p der Grössen x, y, z, x, . . . als Fun 
ctionen der Coordinaten geben, werden 
ihre Differenzialgleichungen die Differen