Sturmscher Satz. 
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Sturm scher Satz. 
f(x) = x* + 3® 5 - 9® 4 + 2»* - 7 x* + 8 x - 5 
f v (x) = ®*+ 2,5a;* — 6® s + ® 3 - 2,333a; + 1,333 
f 2 (x) = x*~ 0,941 a; 3 + 1,216 a; - -1,843» + 1,333 
ft (®) = 3,978® 3 +1,335®* - 2,675a; + 3,253 
ft, (*) = - 2,264® 3 + 3,519® - 2,377 
ft(x) = —4,787® +4,609 
Wir bilden jetzt die Zeichenreihen für 
® = — oo, ® = 0, ® = + oo. 
Diese sind: 
x — ■ ■ CO —J— —J— —— — —|— 
® = 0 h + H 1 |- 
a;= + co H—j—|—j h 
Die erste Reihe hat vier Wechsel, die 
zweite deren drei, die dritte deren zwei. 
Es gibt also eine positive, eine nega 
tive und vier imaginäre Wurzeln. Die 
Reihe ist jetzt für: 
« = 10 + + -f -f + 
also wie bei x — co. Die positive Wurzel 
liegt also zwischen Null und 10. 
Für x — 1 ist fix) = — 7 
für x — 2 ist f{x) — 15. 
Also liegt zwischen 1 und 2 eine 
Wurzel, und zwar nur eine, da es nur 
eine positive gibt. 
Es ist die Reihe für: 
® — — 10 -f- — -f- — — -j- 
also eine Wurzel zwischen 0 und 10. 
Eür x — — 1 ist fix) = — 33 
für x = — 1 ist fix) — -J-145. 
Dieselbe liegt also zwischen —1 und —5. 
Für i: - 4 ist f{x) negativ, also 
sind die Grenzen —4 und —5. 
Die beiden reellen Wurzeln liegen 
also zwischen 1 und 2 und zwischen 
— 4 und — 5. Die Newton’sche Me 
thode gibt nähere Grenzen. 
Es ist nun das Sturm’sche Verfahren 
zu beweisen. 
Zunächst ist klar, dass jeder der Aus 
drücke f(x), /',(»), f^(x) . . . nur dann 
sein Zeichen ändern kann , wenn er durch 
Null geht, denn es sind ja ganze alge 
braische Functionen von x. Findet also 
bei fix) für x— e ein Nullwerth und 
Zeichenwechsel statt, so haben f s (f—v) 
und Z’(«+*0 verschiedene Zeichen, wo v 
eine beliebig kleine und positive Grösse 
ist. Das Zeichen ersterer Grösse f {t — p) 
ist das für jedes x, welches kleiner als 
f ist, wenn f g (x) zwischen x und f nicht 
nochmals verschwindet; mit derselben Be 
schränkung gilt das Zeichen von f g {t+y) 
für jedes x, das grösser als « ist. 
Wir zeigen nun zunächst, dass zwei 
auf einanderfolgende Grössen f g {x) und 
f , , (x) nicht für dasselbe x verschwin- 
's-fl v ' 
den, also auch nicht ihr Zeichen wech 
seln können. Denn nach dem Entstehen 
dieser Grössen ist: 
№ = af s+1 2 
f(s+X) X = ~ ti+3^ 
« und ß sind ganze Functionen von x, 
verschwänden also f g (x) und f g ^ (x) 
gleichzeitig, so müsste nach der ersten 
Gleichung auch f g _^ 2 (®) verschwinden, 
deshalb nach der zweiten Gleichuug auch 
f s _j_ 3 {x), und so alle folgenden Grössen, 
also auch f (x). Dies aber ist unmöglich, 
da die letzte f n ( x ) constant war. 
Jetzt zeigen wir, dass wenn von den 
Grössen fjx), f t {x) , . . f n (®) (also f(x) 
ausgeschlossen) für x — f eine ihr Zei 
chen ändert, dies ohne allen Einfluss auf 
die Anzahl der Zeichenwechsel bleibt, 
Denn sei f , (x) diese Grösse. Hat 
's-f-i 
dann f (e — y) Aus Zeichen +, so wird 
f i, das Zeichen -)- haben, aber 
weder f (.x) noch f . (®) können nach 
dem Vorigen ihr Zeichen für x — t än 
dern. Es wird ferner wegen: 
f,( x '>=”f,+ \W-f S + 2 (*) 
für x = i, wo / s ^_ 1 (®) verschwindet: 
W=-fs + 2& 
sein. Es haben also f g (x) und f & _j_ 2 (®) 
für diesen Werth ungleiche Zeichen und