Starmscher Satz. 
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Sturmscher Satz. 
Gleiches findet nach dem Gesagten auch 
für f — v und f + v statt. Es können 
nun die Zeichenfolgen der Grössen f , 
f s +i’ ?s-f-' 1 nur folgendermaassen be- 
schaffen sein: 
f. f.+, 
(s + 2 
f — p 
4- i 
— 
* + p 
+ + 
4* 
oder: 
f s f s 4-1 
^S + 2 
t — p 
- + 
+ 
*4 v 
+ . 
Man sieht, dass in beiden Fällen sich 
sowohl für ( — v als für t + v ein Zei 
chenwechsel hier findet, also beim Durch 
gänge durch s die Anzahl der Zeichen 
wechsel unverändert bleibt. 
Diese Schlussfolge verliert ihre Gültig 
keit nur für f{x) selbst, da hier in der 
Reihe kein vorhergehendes Glied vor 
handen ist. Im Gegentheil aber lässt 
sich zeigen, dass jedes Verschwinden 
von f(x) die Anzahl der Zeichenwechsel 
um eins und zwar in demselben Sinne 
ändert, d. h. wenn z, B. beim Zunehmen 
von x einmal ein Zeichenwechsel verlo 
ren geht, derselbe bei abnehmendem x 
sich niemals wieder einstellen kann, und 
ebenso wenn beim Abnehmen ein sol 
ches Verlorengehen stattfindet. Mit dieser 
Betrachtung wäre dann der Sturm’sche 
Satz bewiesen. 
Sei f(t) — 0, so müssen 
n*-y) = K*)-rf\t) 
und 
Ke+ *0 =/(») + »*'(*) 
offenbar entgegengesetzte Zeichen haben, 
wenn nicht auch f\t) = 0 ist, welcher 
Fall hier ausgeschlossen worden ist Da 
also f\t) sein Zeichen nicht ändert, so 
sind nur die nachstehenden Zeichenfolgen 
möglich: 
f 
fi 
f 
fi 
t — p 
+ 
+ 
t — p 
4“ 
— 
£ + r 
— 
4- 
»+*' 
— 
— 
f 
fx 
f 
fi 
t—p 
— 
+ 
t — p 
— 
— 
t -J- p 
4 
+ 
14- v 
4 
— 
Im ersten und vierten Fall stellt sich 
beim Zunehmen von f ein Zeichenwechsel 
ein, im zweiten und dritten geht einer 
verloren. Wir zeigen noch, dass wenn 
das erste stattfindet, nie, wenn t grösser 
wird, ein Zeichenwechsel verloren gehen 
kann. Denn z. B. im ersten Falle ist 
für f -f- p f negativ, f t positiv. Wenn 
nun mit zunehmendem t f wieder ver 
schwinden soll, so muss vorher ein Ma 
ximum stattgefunden, also f t sein Zei 
chen gewechselt haben, so dass die Rei 
henfolge der Zeichen mit — — an 
fängt, ohne dass jedoch, wie früher ge 
zeigt wurde, hierdurch die Anzahl der 
Zeichenwechsel geändert wird. 
Ist nun t' > f und ft' = 0, so hat man; 
• f fi 
t'-p — — 
t' + p 4 — 
Es stellt sich also wieder ein Zeichen 
wechsel ein. Ganz Aehnliches findet im 
Falle 4) statt, und in den Fällen 2) und 
3) zeigt man in gleicher Weise, dass 
mit zunehmendem x sich die Anzahl der 
Zeichenwechsel nur vermindern kann. 
2) Der verallgemeinerte Sturm- 
sche Satz. 
1. Satz von Gauchy. 
Um das Sturm’sche Verfahren auf die 
imaginären Wurzeln zu erweitern, ist zu 
nächst ein Satz von Cauchy nothwendig, 
der auch für andere Theile der Analysis 
von der grössten Wichtigkeit ist. Um 
denselben geben zu können, machen wir 
folgende Voraussetzungen: 
A) Sei z = x + yi eine beliebige com- 
plexe Grösse, so sollen unter x und y 
immer Abscissen und Ordinaten eines 
Punktes in der Ebene verstanden wer 
den, der ebenfalls mit z bezeichnet wer 
den soll. 
B) Wir denken uns, um Alles fest zu 
stellen, die obere Seite der Ordinatenaxe 
und die rechte der Abscissenaxe positiv. 
Ferner, wenn wir Polarcoordinaten ein 
führen, also setzen: 
x - r cos .9, y — r sm .9, z — re , 
so soll r immer positiv, 5- für Punkte 
auf der positiven Seite der Abscissenaxe 
gleich 2nn, für solche auf der negativen 
gleich (2n + 1) n sein, also auf der po 
sitiven Seite der Ordinatenaxe (4w+l)-^ 
auf der negativen (4m+3)-g-, wo n eine 
beliebige ganze Zahl ist. 
C) Denkt man sich eine geschlossene 
Curve und geht auf derselben von einem 
Punkte aus die Curve entlang, bis man 
zum Anfangspunkte zurückkehrt, so wird 
die Richtung als positiv genommen, in