Sturmscher Satz. 
Sturm scher Satz. 
welcher, wenn man sich den Anfangs 
punkt der Coordinaten innerhalb der 
Curve denkt, der Winkel ,9 zunimmt. 
Die entgegengesetzte Richtung ist negativ. 
Denkt man sich die Ebene horizontal, 
und Denjenigen, welcher die Curve um 
kreist in aufrechter Stellung, so wird er 
beim positiven Umkreisen den von der 
Curve eingeschlossenen Flächenraum zur 
Linken haben. Nach diesen Vorberei 
tungen lässt sich der Cauchy’sche Satz 
folgendermaassen aussprechen. 
Sei zu dem Ende z — x-\-yi eine be 
liebige complexe Zahl; 
f z) = P + Qi 
eine ganze rationale Function von z oder 
allgemeiner eine eindeutige Function, 
welche nur für unendliches 2 discontinuir- 
lich wird, endlich q (x, y) — 0 die Glei 
chung einer geschlossenen, sonst beliebi 
gen Linie, die wir A nennen, auf wel 
cher aber f{z) nicht verschwinden, also 
nicht P = Q = 0 sein soll. 
Wenn man die Linie A in po 
sitiver Richtung vollständig 
durchschreitet und dabei die 
Punkte merkt, in welchen gleich- 
P 
zeitig P= 0 wird, und — sein 
Zeichen ändert, die Anzahl der 
Punkte, wo dies Zeichen vompo- 
sitiven zum negativen übergeht 
mit a, die wo das Umgekehrte 
stattfindet, mit b bezeichnet, so 
ist a — b doppelt so gross, als 
die Anzahl der von A umschlos 
senen Punkte, in welchen f(z) 
verschwindet, also als dieAnzahl 
der von A umschlossenen Wur 
zeln der Gleichung f(z) = 0. 
Vorausgesetzt ist hier nur, dass auf A 
selbst nicht /■(2) = 0 wird. Wohl kann 
aber z) = 0 mehrfache Wurzeln inner 
halb A haben. In diesem Falle 
wird dann eine nfache Wurzel 
als n einfache gerechnet. 
Wir geben in vereinfachter Form einen 
Beweis dieses merkwürdigen Satzes, der 
von Liouville und Sturm herrührt. 
(Journal des Mathématiques von Liou 
ville Band 2). 
A) Wenn der ausgesprochene Satz lör 
zwei Flächenräume gilt, die einen Theil 
der Begrenzung gemein haben, so gilt 
er auch für die Gesammtfläche, wenn 
man den gemeinschaftlichen Theil der 
Begrenzung weglässt. 
Denn seien ABCA, CBDC (Fig. 416) 
zwei solche Räume, im erstem Raume 
d Wurzeln der Gleichung /"(s) = 0 vor 
handen, im zweiten dj, möge auf der 
ersten Begrenzung a und b die oben 
gegebene Bedeutung haben, auf der an 
dern «, und b v , dann ist nach der An 
nahme: 
a — b = 2 cT, 
b i = 2(f 4 , 
also ; 
a + a'-(b - b l )=2[d+d l ). 
Der Satz also gilt für die Gesammt- 
begrenzung. Da man aber beim positi 
ven Umkreisen von ABCA das Stück 
BC in der Richtung von BC, dagegen 
beim positiven Umkreisen von CBDC dies 
Stück in der Richtung CB zurücklegt, 
P 
so wird beim zweiten Wege — ebenso 
oft vom Negativen zum Positiven über 
gehen, als auf dem ersten vom Positi 
ven zum Negativen und umgekehrt; dem 
B entsprechenden Theil von a wird 
also ein gleicher Theil von b v entspre 
chen, dem von ein gleicher von b, 
diese Theile heben sich, und somit kann 
das Stück BC ausser Acht bleiben. 
Was für zwei Räume gilt, ist na 
türlich auch für beliebig viel gültig, da 
man beliebig zwei zu einem und diesen 
mit dem dritten u. s. w. vereinigen kann. 
Wir haben also bewiesen; 
B) Wird ein Raum durch Zerschnei 
den in mehrere andere getheilt, gilt 
unser Satz dann für alle Theilräume, so 
gilt er auch für den Gesammtraum. 
Fig. 416.