Sturmscher Satz. 
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Sturm scher Satz. 
Denkt man sich den Ausdruck: 
j*d]gf(z) über die Curve A erstreckt, 
so ist derselbe bekanntlich gleich der 
Summe der Ausdrücke f' d lg f(z) auf 
geschlossene Curven bezogen, welche je 
■n.- .... * 
eine Discontinuitat von umgeben. 
Discontinuitäten aber treten nur ein für 
fi*) = 0 oder jr~ — 0. 
Ist die Wurzel eine »ifache (in dem 
obigen Sinne genommen, der sich auch 
auf dem Windungspunkte bezieht), so 
ist wie leicht zu sehen (vergl. den Ar 
tikel: Quantität, imaginäre) 
j d lg f(z) = 2nin oder = — 2nin, 
je nachdem 
/•(0 = 0 oder = 0 
ist, also die Summe der Theilintegrale: 
2ni(d — i) 
Was nun das auf A bezogene Integral 
anbetrifft, so ist — au £ Q urve 
dz 
immer continuirlich, also der Werth 
desselben gleich dem Unterschiede der 
Werthe lg/'(s) im End- und Anfangs 
punkte. Da diese Punkte aber zusam- 
fallen, so kann dieser Unterschied nur 
2kni, und k eine beliebige ganze Zahl 
sein. Sei k z. B. positiv und setzen wir: 
f{i)zz Q e 01 , \gf(z)=\gQ + oi, 
möge a beim Umkreisen der Curve A 
immer zunehmen, so wird offenbar: 
„ P 
P = p COS ff = — = cot ff, 
und da <j von 0 bis 2 kn zunimmt, 2k 
gleich der Anzahl der Werthe sein, wo 
P 
P verschwindet, — vom Positiven zum 
Negativen übergeht, dann ist k = a, 
6=0. Geht aber g auch vom Negativen 
zum Positiven über, so ist, da die Stel 
len, wie dies geschieht, in Abzug kom 
men, 2k = a — 6, und dies ist offenbar 
noch der Fall, wenn k negativ ist, wo 
dann n < b wird. Es ist aber nach dem 
Obigen: 
2 7ii (cf — i) = 2kni, 
2k = a— b = 2(d — t), 
was zu beweisen war. 
IV. Das Sturm’sche Verfahren 
bei imaginären Wurzeln. 
Um nun zu erfahren, wie viel Wurzeln 
in einem gegebenen von A umschlosse 
nen Raum vorhanden sind, nehmen wir 
wieder an, die algebraische Gleichung 
f(i) = 0 sei gegeben, dann ist also 
(et — h) = 2 ff, und es kommt darauf an, 
ff — b direct zu ermitteln. Wir thun dies 
unter der Bedingung, dass die Curve 
A, welche ja nicht continurlich gekrümmt 
zu sein braucht, aus Theilen besteht, in wel 
chen x und y als ganze rationale Functio 
nen einer dritten Grösse u gegeben sind. 
Es ist für jeden solchen Theil auch P 
und Q als ganze Function von z gegeben, 
Die Aufgabe beschränkt sich dann 
darauf, a — b für einen solchen Theil, 
den wir B nennen, zu finden, die Summe 
aller dieser Theile ist dann gleich 2c)'. 
Da über die Form der Begrenzung nichts 
festgesetzt ist, so lässt sich in Bezug 
auf die Begrenzung immer der obigen 
Bedingung genügen. Die Ermittlung von 
ff — b geschieht nun ganz nach dem 
Sturm’schen Verfahren. 
P 
„Man dividire —, sei — Q l der Di 
visionsrest, ferner • 
O, der von — u. s.w., 
2 (>L 
so kommt man endlich auf eine Con- 
stante — Qn. da P und Q auf der Be 
grenzung nicht gleichzeitig verschwinden, 
also keinen gemeinschaftlichen Factor 
haben. Seien nun « und ß der Anfangs 
und Endpunkt von B im Sinne einer po 
sitiven Bewegung, so ist « — b gleich 
dem Uebcrschusse der Zeichenwechsel 
der Reihe P, Q, Q t ... Q in ß gegen 
die in n“. n 
Es ist hier zu bemerken, dass auch Q 
von höherer'Dimension als P sein kann; 
in diesem Falle ist bei der Division von 
P 
— natürlich P seihst als Rest, also 
— (>, = P zu setzen. 
Der Beweis ist ganz ähnlich wie in 
1) zu führen. Wie dort wird dargethan, 
dass ein Zeichenwechsel von Q, Q, ... 
keinen Einfluss übt. Was P anbetrifft, 
so können nicht gleichzeitig P und Q 
ihr Zeichen wechseln, also wenn P=0 
für 2 = s wird, so sind folgende Fälle 
möglich: 
P Q P Q P Q P Q 
* — v + + -j -4- 
* -v — + — + + H • 
Im ersten und vierten Falle geht — vom 
Positiven zum Negativen über, es wird