Substitution, 
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Substitution. 
Die Glieder letzterer entstehen aus denen beider Factoren, indem man die 
Summen der Producte nimmt, welche aus den Gliedern irgend einer Reihe der 
ersten und einer der zweiten gebildet werden. 
Aus den Sätzen IV. und VI. des zweiten Abschnitts lässt sich dieses Re 
sultat leicht verificiren. 
Betrachte man nämlich z. B. für neun Variablen die Determinante: 
a i«i + b ißi + c i Yn 
a 2 ce, + b t ß l + c a y l , 
«3«l + Ml + C 3)'l- 
a l « 2 J rb l ß i + Ciy 2 > 
«a«a + b ; ß a + c a y 2 , 
«3« 2 + b ißi + c iYii 
+ + c iYa 
a t « 3 + b 1 ß 3 +c 2 y 3 
«s«3 + b aßi + c 3/s 
Da jedes Element aus drei Gliedern besteht, so lassen sich aus jedem drei, 
also im ganzen 27 Determinanten bilden nach VI. des vorigen Abschnitts; von 
diesen verschwinden alle, worin zwei Reihen sich nur durch einen Factor unter 
scheiden. Z. B. 
® i ^ a > ff ^3 
«i«il «2^3 . «2«S j 
«3«D ^a (( 3 I 
und es bleiben nur Ausdrücke übrig, deren je zwei die Form haben; 
(»ißiy»-<*tY»ßs) 
Nach dem Herausrücken eines aus «, ß t y l . . . zusammengesetzten Factors 
bleibt in allen Theilen die Determinante dieselbe. Diese Factoren aber bilden, 
wie leicht zu sehen, die Determinante («, ß 2 y s ), so dass der Werth der zuerst 
gegebenen: (a t h i c s ) (« t ß 2 y t ) ist, und da dasselbe Verfahren für n 1 Variablen 
gilt, so ist hiermit unser Satz bewiesen. 
Es lässt sich demselben auch eine Erweiterung geben. 
Es mögen wieder die Gleichungen C) stattfinden, die Anzahl der a und « 
aber nicht einem Quadrate gleich sein, und betrachten wir die Determinante 
a i a n b ißii c iYs 
c iYn b iß s 
a 11 c t 
b t ß 2 , c i y J 
+ 
®a^u c iY 1' b iß3 
— 
ff a, b n c i 
a s a n b 3 ß 2 , c sY3 
«3«U c aYn b ißl 
b3» c s 
Es lässt sich nämlich dieselbe noch immer als Eliminations-Determinante der 
Gleichungen A und B betrachten, ganz wie oben gezeigt wurde, wenn nur die 
Anzahl der x grösser als die der u ist. Sei z. B. die der erstem n + p, die der 
letztem n, die Zahl der Gleichungen Ä aber n, was natürlich die Elimination nicht 
hindert. Wendet man nun auf dieselbe das zuletzt eingeschlagene Verfahren an, 
so sieht man augenblicklich, dass man zwar nicht das Product zweier Deter 
minanten, wohl aber die Summe der Producte von je zwei entsprechenden zu 
n l Elementen erhält, die sich aus je n Reihen der et, bezüglich der « bilden lassen. 
Es ist also: