Substitution. 
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Substitution. 
Offenbar folgt aus dem Vorigen auch, dass das Product von beliebig viel 
Determinanten wieder eine solche ist; dies gilt also auch für die nte Potenz 
einer solchen, wenn n eine ganze positive Zahl ist. 
4) Von den Unterdeterminanten höherer Ordnung und den re- 
ciproken Determinanten. 
In den Gleichungen 1) und 2) des vorigen Abschnitts: 
1) 
2) 
A = « 
d A 
4- « 
P l da pi P 2 
0 = a 
d A 
4" “ 
dA 
Öa p1 
dA 
4- • • • 4- « 
dA 
p n da 
q 1 da . q2 da 
i pl 'i 
4- • • • 4- a 
p n 
dA 
q n oa 
pn 
(statt s kann man auch in 1) und 2) a r schreiben) sind die Eigenschaften 
der Unterdeterminanten enthalten, da eine solche: 
dA 
da 
p s 
übrigens von 
a a „ . . . 
p 1’ p 2 
frei ist, so erfüllt sie auch die Gleichungen: 
oi A _ n d»A 
pn 
d* A 
da 2 
p s 
da da . 
ps p t 
da da. 
s p t 
= 0. 
Die letzte Gleichung findet darum statt, weil man die Columnen und Reihen ver 
tauschen, d. h. statt der ersten die zweiten Indices betrachten kann. 
d a A 
Der Ausdruck ^—, heisst nun Unterdeterminante zweiter Ordnung; 
a ps a q t 
d A 
da ^— selbst eine Determinante ist, so finden die der Gleichung 1) und 2) ent- 
p s 
sprechenden Relationen statt; 
dA d»A , d 2 A 
4) rr— - . TA A + a _ „ A A b • 
da 
ps 
5) 
0 — a 
q i da da , 
1 p s q 1 
d 2 A 
r 1 da da . 
ps q X 
+ a 
q 2 da da . 
1 p s q ° 
d a A 
4-« 
d 2 A 
r 2 da da 
ps q 2 
4- 
4- « 
q n da da 
1 p s q n 
d 1 A 
r n oa da 
p s qn 
wo p und q, r und q von einander verschieden sind. 
Die Unterdeterminanten erster Ordnung haben eine einfache Beziehung zur 
Auflösung der linearen homogenen Gleichungen. 
Vergleicht man nämlich das System : 
a< z, 4- a. xq 4- . • . 4" Oi x — 0 
11 11 12 2 1 1 1 n n 
o . x, 4" ci. x~ 4- . . . 4“ et x — 0 
2 1 1 1 2 n a 1 ‘2 n n 
« . ü, 4-« „ 4 . . . 4-« x = 0 
n l 1 n2 2 1 nn n 
mit den Gleichungen 2) so ergibt sich: 
dA d^ d A 
x L : x 2 : 
n da . ' d« 
p 1 p 2 
wo p ganz beliebig ist. 
Setzen wir jetzt der Kürze wegen: 
dA 
da 
= A 
p q 
p q 
da 
p n