Substitution. 
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Substitution. 
Dem letzten Satze lässt sich aber auch eine Ausdehnung auf solche Deter 
minanten geben, welche die Bedingung ^ — — a^ ^ nur erfüllen, wenn q un 
gleich p ist, wo aber die Glieder a a } 2 • • ■ ab® gleich sind. 
Sei A zunächst eine beliebige Determinante, D diejenige, welche daraus ent 
steht, wenn man die Diagonalglieder sämmtlich .mit Null vertauscht, D g die dem 
Gliede a g g entsprechende, ^ die « s s a g ^ entsprechende Unterdeterminante, u. s. w. 
so dass z. B. D gtu also eine Unterdeterminante dritter Ordnung ist, dann ist; 
A = D + l« D J£ a a D 4- 2 a a a D .+ ... 
1 rr r ' r s s s r s ' . rrss st rst 
r r, s r,s, t 
4- «r a 
1,1 2, 1 n, n 
Denn die Glieder von A> welche kein Glied der Diagonale enthalten, sind mit 
D identisch, die, welche ein Glied derselben enthalten, sind mit die zwei 
Glieder enthalten, mit D r u. s. w., multiplicirt. 
Sei nun 
i — — a 
pq qp 
pp 
so werden von den Determinanten D, , D . . . diejenigen, deren Gliederzahl 
ungrade ist, verschwinden, die, bei denen sie grade ist, symmetral sein. Aus 
diesem Grunde erhält man, wenn man die Glieder von A in umgekehrter Ord 
nung schreibt: 
A = x n + x n ~- 2D i -\. x n ~ k SD^ + . . ., 
wo die Summe der Unterdeterminanten mit k 2 Gliedern bezeichnen, und alle 
Determinanten in die Summe aufgenommen werden, deren Indicesreihen die Com- 
binationen zu k aus der Reihe 1, 2 . . . n ergeben. 
Da nun D 2s jedenfalls ein Quadrat ist, so folgt: 
Die bezeichnete Determinante ist eine ganze rationale Func 
tion des Hauptelemonts, welche nur grade oder ungrade Expo 
nenten enthält. Die Coefficienten der Entwicklung aber sind 
Quadrats ummen. 
x a b c 
—a x b c 
— b — d x f 
— c — e — f x 
Beispiel, 
= x* + («H bt+c' + dt + e' + f^xt+iaf-be-cd)*. 
6) Uebcr die Resultanten. 
Wenn aus einer Anzahl Gleichungen die 
Unbekannten sämmtlich eliminirt werden, 
so heisst die linke Seite der Eliminations 
gleichung, (also der Ausdruck, welcher 
verschwindet) Resultante des Systems. 
Die Anzahl der Unbekannten ist im 
Allgemeinen n—1, wenn die der Glei 
chungen n ist. 
Bei homogenen Gleichungen ist sie 
gleich n. 
Jedes System kann in eine von ho 
mogenen Gleichungen verwandelt werden, 
wenn man die Unbekannten x, y, z . . , 
x v z 
vertauscht mit —, —, —• ... und 
u u u 
mit der höchsten Potenz von u multi 
plicirt. 
Homogene Gleichungen dagegen wer 
den in solche mit einer Unbekannten 
weniger verwandelt durch Division mit 
der höchsten Potenz der einen davon. 
Die Auffindung der Resultante kann 
auf verschiedene Weise geschehen. Für 
weitere Entwickelungen, wenn auch nicht 
für numerische Berechnung, empfiehlt sich 
namentlich die Anwendung der symme 
trischen Functionen.