Substitution. 
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Substitution. 
UV , 
a x + a 
m — 1 , 
* + 
■ • + Cl 0 — 0 
b n xH + b n-l +---+Äo : =0. 
Seien jetzt zwei homogene Gleichungen vom mten und wten Grade mit drei 
Unbekannten gegeben: 
ax m + (ßy + yz)x m ~ 1 + (tL/ 9 +tya + £z 2 ) x n ‘ + . . . 
«i®” + (ßiV + Yi«) x n 
Eliminirt man x, so hat man in der 
Resultante für die Summe der Indices 
jedes Gliedes m n; jedes dieser Glieder 
enthält aber y und z in der Dimension, 
welche der Stellung des Gliedes, d. h. 
dem Index entspricht, z. B. 
«i = ßy + Yi z 
u. s. w. 
Die Resultante ist also eine homogene 
Function von y und z vom Grade in n. 
Setzt man dieselbe gleich Null, so er 
hält man durch Auflösung mn Werthe 
V 
von —. Dasselbe findet statt, wenn man 
z 
y eliminirt, man erhält dann in n Werthe 
von — aus den entsprechenden Resul 
tanten. Also : 
Die Zahl der Werth - Systeme —, —, 
z z 
welchen die beiden Gleichungen genügen, 
ist gleich m n. 
Für nicht homogene Gleichungen mit 
zwei Unbekannten ist 5 = 1 zu setzen. 
Nehmen wir das Letztere an, so lassen 
sich auch die symmetrischen Functionen 
aus den Wurzeln x,, x, ... x , 
L 2 mn’ 
t/i)V 2 . . . y rational bilden. 
Dies ist an sich klar für diejenigen 
Functionen, welche nur „r,, x 2 ... oder 
2/u y 2 . . . enthalten, da diese sich un 
mittelbar aus den entsprechenden Resul 
tantengleichungen ergeben. 
Was aber die anbetrifft, die zugleich 
x und y enthalten, so verfahre man fol- 
gendermaassen. Wir setzen: 
u — px -j- qy, 
eliminiren mittels dieser Gleichung aus 
beiden gegebenen x, wodurch ihr Grad 
nicht verändert wird, und bilden durch 
Wegschaffen von y die Resultante, welche 
nach u vom m nten Grade ist. 
Es lassen sich daraus die symmetri 
schen Functionen von v, also auch die 
Potenzsummen darstellen. Also : 
Iv * = (px l +qyi) t + ipx 2 +qy%) 1 + ••• 
y 2 +e,yz + x n 2 + . . . 
Beide Seiten der Gleichung enthalten 
p q, indem man nun die Coefficienten 
beliebiger Potenzen beider z. B. p q r 
vergleicht, ergibt sich der Werth von 
2 x 1 g y 1 1 und eben so sämmtliche sym 
metrische Functionen. 
Seien die gegebenen Gleichungen ho 
mogen in x, y, z, so lassen sich die ho 
mogenen Functionen von — , — in die- 
z z 
ser Weise darstellen: nimmt man für 
21, 2, . . . 2 t einen beliebigen Werh 
an, wie dies ja geschehen kann, so er 
geben sich hieraus alle symmetrischen 
Functionen der drei Variablen. 
Gehen wir jetzt zur Resultante von 
drei beliebigen Gleichungen mit zwei 
oder drei homogenen Gleichungen mit 
drei Unbekannten über. Seien dieselben: 
7 ( x , y) = 0, q l (x,y) = 0, (f i (x,y) = 0, 
bezüglich vom n, n t , n 2 ten Grade. 
Seien x. x„ .. . x , y.y....y 
1 1 n, 3 ‘ 37 3 n 11, 
die Werthsysteme, welche den beiden 
ersten Gleichungen genügen, dann wird: 
'1 ii. x v y i) ••• V&nH y m ) 
verschwinden, und da darin nur symme 
trische Functionen der Wurzeln vorhan 
den sind, so drücken sich die Wurzeln 
rational durch die Coefficienten von q 
und q | aus. Die Resultante hat drei 
Formen, je nachdem man in q, q, oder 
q j einsetzt, sie enthält nach der letzten 
Form die Coefficienten von q 2 im Grade 
nn v also die von q , im Grade nn t , von 
q im Grade nn l und zwar sind die 
Coefficienten jeder der drei Gleichungen 
in homogener Form enthalten, wenn 
das Anfangsglied mit a 0 und nicht mit 1 
multiplicirt gedacht wird. 
Offenbar nämlich ist dann q 2 homogen 
und von erster Ordnung, also die Re 
sultante homogen und von m^ter Ord 
nung in Bezug auf die Coefficienten 
von 
Wie bei der Resultante zweier Glei 
chungen lässt sich nun zeigen, dass wenn