Substitution.
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Substitution.
c
und
df
_ -£■
°Vi
Ö Vn
df
ty i + - dy 2 +
°y,.
dy — -—- dx, + -r—- dx. +
J q dx. dx., 2
df
+ ~dy t
öy J n
dy
+ pLdx
dx «
Nach dem in Abschnitt 3) Gesagten kann man aus diesen n Gleichungen
die dy eliminiren und die Eliminations -Determinante wird:
1)
A fOO A / , (2/) ’ (*)‘
Sind aber die Functionen f x ,f 2 . . . f abhängig von n-\-p Variablen
n+p
V i > Vn •
diese selbst aber nur von n Grössen
X | ) X 2 . . • ,
so ergibt sich aus den Betrachtungen des erweiterten Multiplicationstbeorems:
2) ^n.x) ZZ2 ^ny) A 2/(*)’
Ist die Zahl der y n—p t die der n: n, so finden zwischen den f Beziehun
gen statt, die Determinante A n \ verschwindet.
fi x )
Finden endlich n Gleichungen statt:
•fl- 0, <f 2 = 0 . . . r n - 0,
welche auf der linken Seite sowohl die Functionen h, f, ■ ■■ r„ als auch in
evoluter Form die Variablen x enthalten; so hat man Gleichungen von der Form;
— dr.
l 'f s d f, d, u df 2
df x dxj. ^ d f, dx^
du d f
' v ' n
+
'y v 1 1 ./ / 2 d f n dxf
und da die Form den Gleichungen C) des Abschnitts 3) entspricht, so ergibt sich:
3)
= (- 1) A
drr
1 n
' ’ df
\(f) A /X*)
avo unter A^ ^ die Determinante
df f i f) y a
^ft d fi
bezeichnet ist. Sind die x selbst als Functionen der f betrachtet, so hat man
ebenso:
A 'f 0*0 A « (f) ( ^ A
also durch Multiplication beider Gleichungen:
•/(fr
4)
A f( x ) A *(/-)- L
Die Formeln l), 2), 3', 4) sind denen über Differenzialquotienten analog,
lassen also in gewisser Weise die Functional-Determinanten als Erweiterung der
selben erscheinen.
Bei Gleichungen f—0 bezeichnen wir die Functional-Determiuante der f als
die der Gleichungen selbst.
Von den letzteren gilt nun namentlich folgender Satz;
I. Wird eine Anzahl von n homogenen Gleichungen durch ein
System von Variablen befriedigt, so verschwindet auch die Fun
ction al - D e ter min an t e dieser Gleichungen, und sind die Gleichun
gen von gleichem Grade auch die Differenzialquotienten der De
terminante in Bezug auf je de Veränderliche.
