Substitution. 
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Substitution. 
*2 +■■• + f n 
( m ~ 1) L 
also: 
F =F . 
pq qp 
Nach einem im vierten Abschnitte gegebenen Satze lassen sieh nun die Ver 
hältnisse der Grössen 1 — »ra, x t , x 2 . . . x^ durch die Grössen H und F aus- 
drücken nämlich: 
1 — m : x t : x 2 
x — F 
n p 
= H 
p l ’ p 2 
p n 
also: 
2) 
F 
V 
V 
i H und F = V, H. 
tn — 1 p f] (in — l) 2 
Da die Glieder f der Hesse’schen Determinante symmetrisch vom (»ra—2) ten 
Grade sind, so sind die Glieder ihrer ßeciproke ^ ebenfalls symmetrisch und 
von (»ra — 1) (»ra — 2)ten Grade. 
Von diesen Eigenschaften lassen sich interessante geometrische Anwendungen 
machen. 
Vertauscht man in der Gleichung einer ebenen Curve die Coordinaten x, y 
mit — , —, so wird die Gleichung homogen. Sei dieselbe f — 0, und vom »raten 
z z 
Grade, so lässt sich leicht zeigen, dass die Krümmung derselben den Ausdruck hat: 
1 H 
(in - 1)3 ^11 ^2 2 '3 “ (m~ l) 1 ’ 
in den Wendepunkten ist nun H=z 0, und da H vom Grade 3 (»i — 2) ist, sämmt- 
liche Wendepunkte die beiden Gleichungen aber erfüllen: 
/=0, H = 0, 
so gibt es deren 3m(w- 2). Für die Fläche mter Ordnung, deren Coordinaten 
x y z 
~ — und deren Gleichung f — 0 ist, erhält man als Product der beiden 
Hauptkrümmungen: 
' 1 IJ_ 
("» — !)• (A 2 +/i 2 +/3 2 ) 1 
in den Wendepunkten also ist H = 0, d. h. es wird zugleich eine Gleichung vom 
4 (m — 2) ten Grade erfüllt, und man hat deren 4m (w — 2). 
Man hat ferner die fundamentalen Gleichungen : 
U-H 
P 
l fp \ 
+ 
0=H , f . + 
p I ' q l 
+ H f 
‘ p 11 ' p n 
+ H f , 
1 pn'qn 
also, wenn die Hesse’sche Determinante verschwindet, gilt die letzte Gleichung, 
q möge gleich oder ungleich p sein. Man kann hieraus dann die Ausdrücke // 
bestimmen. Nehmen wir der Allgemeinheit wegen an, dass diese Ausdrücke 
einen gemeinschaftlichen Factor M vom ^ten Grade haben, dass ferner F vom 
»raten Grade sei, dann ist: 
II - a M 
p n n 
und die a sind ganze homogene Functionen vom Grade (ra — 1) (»ra — 2) — p. Es 
ist dann: 
= » pi = a % M 
ra, f ra, f -f- 
1 ' q t 1 2 ' q 2 ‘ 
4- « f — 0, 
1 n 'qn ’ 
wir multipliciren dies System von n Gleichungen mit x , vertauschen q mit 
1, 2 . . . ra und addiren alle Gleichungen. Dann folgt mit Berücksichtigung der 
Beziehung: