Substitution. 
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Substiuttion. 
Denn es würde diese Indexsumme 
gleich dem Producte der Grade der Glei 
chungen, also («— l)P sein, wenn die 
Indices mit den Potenzen von x in den 
Differenzialquotienten übereinstimmten, 
dies aber findet bei — nicht, wohl aber 
ox 
d f 
bei den übrigen statt, bei ^ ist näm 
lich der Index k wenn die Potenz k—1 
ist. Daher wird die Zahl (n— 1)^ um 
so viel Einheiten vermehrt, als sich Coef- 
n f 
ficienten von ~ in jedem Gliede der Re 
sultante finden, und da deren soviel Vor 
kommen als das Product der Grade 
der übrigen Gleichungen beträgt, also 
(n — D P -', so hat man als Index 
summe : 
(n — 1) P -f- {n — 1)^ 1 — n (n — 1) ? 1 . 
Diese Indexsumme nennt man gewöhn 
lich „Gewicht der Discriminante,“ wäh 
rend p(n — I)?* 1 ihren Grad anzeigt. 
Wenn eine binäre Form einen 
quadratischen Factor enthält, 
so verschwindet ihre Discrimi 
nante identisch. Denn sie ist Re 
sultante zweier Gleichungen mit gemein 
schaftlichem linearen Factor. 
Hat eine ternäre Form die Gestalt : 
X*'i+XYip+Y* X , 
wo XY lineare Functionen sind, so ent 
hält jedes Glied eines der Differenzial 
quotienten entweder X oder Y, dieselben 
gleich Null gesetzt, werden also verificirt, 
wenn man X = 0, Y = 0 nimmt. Aus 
diesem Grunde verschwindet auch hier 
die Discriminante, 
Allgemein verschwindet die Discrimi 
nante einer Form nter Ordnung, wenn 
die letztere als homogene Function zwei 
ten Grades der linearen Grössen A u 
X 2 . . . X n ausgedrückt werden kann. 
Setzt man X. = X, = . . . =X =0, 
so erhält man Werthe für die Variablen, 
welche singuläre Wurzeln der Form 
heissen. 
Untersuchen wir jetzt die binäre Form; 
I = a u x +«!# y-\-a 2 x y % -\-.., 
Wir wollen dieselbe mit dem Symbol: 
(«o> • • • %) (*, yf 
bezeichnen. Oft sind die Factoren a 0 , 
zugleich mit den Binomialcoefficienten 
n (n — 1) 
|—2— . . . multiplicirt. Dies soll 
in der Bezeichnung angedeutet werden 
durch einen Strich. 
Das Symbol ist dann: 
Oo> «i • ■ • «„) I (». yf- 
Man hat dann der Homogenität wegen: 
df <>f 
nf = x rr- +y — . 
ox J oy 
Setzt man nun eine Wurzel v, von 
df 
— = 0 in nf ein, so erhält man: 
Das Product dieser Substitutionen für 
alle Wurzeln y y 2 . . ., gibt: 
« t , 
« / i 
y i y 2 
df df 
' d V\ ö 2/l 0 d Vi °y 2 
*f 
Die linke Seite ist aber die Resultante der Gleichungen f und (vom Zahlen 
factor n n abgesehen), die rechte die Discriminante multiplicirt mit a 0 . Also: 
„ df 
Die Resultante von f und ist das «„fache der Di s c rimin ante, 
und ebenso; 
df 
Die Resultante von f und — ist das a fache der Discriminante 
oy n 
Seien jetzt die Wurzeln der Gleichung f ~ 0: x 2 y 2 , . ., so ist: 
f=(xyi — . . . 
df 
d^-y I ( x y* - x *y) (w» ~ x *y) + • • • + V* (*ÿi — *i») -x 2 y) + . ■ • 
Setzt man hierin x — x^y—y s so kommt: