Substitution. 
Substitution. 
ilion 
• , . ÖD dD _ . . 
proportional mit: ^- , wenn D die Discnmmante ist 
gleichen Wurzeln .r, 1/, 2, y = tp =. 0 wird, so hat man: 
0 
da nun aber für die 
dy . fVr. dr/i 
dx dy dz 
dtp dtp dtp 
X v— -|- y r f- 2 T — tltp — 0 
dx J dy 1 dz 1 
( d'i dtp — dy dxp\ (dy dtp dy, dtp\ /dy. 
dy dz dz dy) ' \d z dx dx dz) Vda: 
Diese Gleichungen, deren rechte Seite die Unterdeterminanten der beiden obigen 
Determinanten sind, lehren, dass man das Yerhältniss der letzteren schreiben kann: 
. 'H 
d a da 
dy. dtp dy 
X d~b + y d~b + z tb 
Da nun die Form f selbst gleich xy + ytp -f- 2^ mit einer Constante multiplicirt 
ist, so erhält man für die singulären Wurzeln x, y, z die Proportionen: 
= dj dj dj 
da db de 
und dieses gleich Null, da x, y . . . sin 
guläre Wurzeln sind. 
Setzt man nun a - b = c gleich Null, 
so verschwindet die Discriminante von f, 
weil alle Differenzialquotienten für die 
singulären Wurzeln y — 0, 2 = 0 ver 
schwinden. Damit dann auch F ver 
schwinde, braucht nur A = 0 zu sein. 
Die Discriminante hat also eine derar 
tige Form, dass wenn man b + kB, 
c-\-kC für b und c setzt, und «=6=c=0 
nimmt, sie durch k 2 theilbar wird, d. h. 
wenn man für h und c kB und kC ein 
führt, und azz 0 setzt, so muss das Re 
sultat durch k 2 theilbar sein, was nur 
bei der obigen Gestalt: 
ad- + b 2 y -f- b c tp -f- c 2 % 
möglich ist. 
wie angezeigt war. 
Es lässt sich nun der oben für binäre 
Formen erwiesene Satz allgemein nach- 
weisen. 
Ist a der Coefficient der höchsten Po 
tenz einer Veränderlichen, h, c, d die 
folgenden Coefficienten der nächst nie 
deren Potenzen, so hat die Discrimi 
nante die Form: 
+ tV'X VO cd) 2 , 
wenn die Form ternär ist, so hat 
z. B. 
man 
ad -f b 2 y + b c tp -f c 2 /. 
Denn sei f eine Form, deren Discrimi 
nante gleich Null ist, F eine andere, 
die nur durch die singulären Wurzeln 
der ersten verschwindet, dann ist, wenn 
f- ax+ hx n 
F = Ax n ' n Jl 
+ Bx' v y+ . ■ ■ 
setzt, D die Discriminante von f nennt, 
und die Discriminante von f-\-kF bildet, 
das mit k multiplicirte Glied derselben : 
und wie so eben gezeigt: 
dl) dD dD 
da ’ 06’ de 
proportional mit: 
n n—l n—1 
x , x y, x 2 . . . 
Es ist also der Coefficient von k gleich 
Ax 1 -f Bx n ~ 1 y -f- . . . 
11) Ueber Invarianten und Co- 
var ianten. 
Schon früher haben wir, wenn eine 
Function von x, y, 2 . . . durch die 
lineare Substitution : 
x = a v u + b ,v + Cj^io 
y = a 2 u-\-d t v + c 2 w 
z = a~u + b 3 c + c 3 ic 
c 3 ) als Substitu- 
die Determinante («, b. 
tionsmodul bezeichnet. 
Hat man nun eine Gleichung 
oder ein System von Gleichun 
gen und bildet sich aus deren 
Coefficienten eine Function A, 
welche die'Eigenschaft hat, sich 
nur um einen Factor, der eine 
Potenz des Substitutionsraodu 1s 
ist, zu ändern, wenn man irgend 
eine lineare Substitution mitden 
gibt also die glei- 
itienten der Form 
nn man statt nach 
ienten differenziirt. 
n werden, der für 
n wir drei Verän- 
c Constanten, die 
adlich kleinen Zu- 
he Wurzeln haben 
chungen sind aber 
y, £ zugenommen 
) 
) 
). 
r die Verhältnisse 
dann erhält man 
t; 
n derselben Form, 
sprechenden Deter-