Substitution. 
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Substitution. 
gegebenen Gleichungen ver 
nimmt, und mit den neuen Coef- 
ficienten die A entsprechende 
Function bildet, so heisst A eine 
Invarian te. 
Nach dem Multiplicationstheorem ist 
also die Determinante eines Systems 
von linearen Gleichungen eine Invariante. 
Man überzeugt sich aucli sogleich, dass 
die Form: 
ax 2 4- 2 bxy -)- et/ 2 
zur Invariante ihre Discriminante 
ac — b 2 
hat, und ebenso, dass dem System : 
ax 2 +2hxyA-cy 2 , a t x 2 + 2b t xy -f- Cyy 2 
die Invariante 
acy -f- a t c — 2bb v 
entspricht. In der That erscheinen beide 
Invarianten bei einer linearen Trans 
formation der Formen mit dem Quadrate 
des Transformationsmoduls multiplicirt. 
Wir schreiten jetzt zur Definition einer 
Covariante. 
Fall, erstere ist also in der letzteren als 
Factor enthalten. 
Es lässt sich dieser Satz aber auch 
unmittelbar aus dem Ausdrucke der Re 
sultante in den Wurzelwerthen ableiten, 
Dieselbe besteht nämlich aus Factoren 
von der Form 
x y — x y . 
■pVq qVp 
Untersuchen wir zunächst den Factor 
x Vi — x iVi 
wo Xy y L ein Wurzelwerth ist. Aus 
demselben wird durch lineare Transfor 
mation : 
(«i x + ß l y)y l -(a 2 x+ ß t y)x t 
— xY y yXy) 
wo gesetzt ist: 
x i = ~ßiVi + ß* x v 
F I= i ~ a 2 X l- 
Bildet man aus den andern Wurzeln auf 
gleiche Art X 2 , Y 2 . , ., so erhält man 
sehr leicht: 
Aus einer gegebenen Form A 
wird eine andere B abgeleitet; 
die erstere geht durch lineare 
Transformation in eine andere 
Ay über, und durch dieselbe 
Transformation B in B t . Leitet 
man nun ans A L nach demselben 
Gesetze, wie B aus A entstand, 
die Form B' ab, und es unter 
scheidet sich B f von By nur um 
einen Factor, der eine Potenz 
des Transformationsmodul ist, 
so heisst B eine Covariante vond. 
Nach einem Satze, der im Abschnitt 9) 
bewiesen ist, ist die Hesse’sche Deter 
minante einer Function eine Covariante 
derselben, denn sie reproducirt sich mit 
dem Quadrate des Transformationsmoduls 
multiplicirt, wenn man eine lineare 
Transformation mit f vornimmt. 
Betrachten wir nun binäre Formen: 
Jede Resultante oder Discri 
minante ist eine Invariante der 
entsprechenden Formen. 
Denn ihr Verschwinden zeigt einen 
quadratischen Factor der Formen an. Ein 
solcher bleibt aber noch ein quadrati 
scher Factor nach der Transformation, 
wird also die Discriminante oder Resul 
tante des gegebenen Systems Null, so 
ist dies auch mit dem transformirten der 
2 1 y—{xiVi x 2 y,) 
(«i/S 2 - a 2 ßy), 
also die Resultante oder Discriminante 
reproducirt sich multiplicirt mit 
(«yß 2 -a 2 ßy) n . 
n ist aber die Anzahl der Factoren, und 
a ißi ~~ a ißi die Substitutions - Deter 
minante. 
Dieser Beweis zeigt aber auch, 
dass jede symmetrische Func 
tion der Wurzeln, welche aus 
Factoren von der Gestalt 
x vVi ~ x iV\ 
besteht, eine Invariante ist. 
Eine nicht homogene Function einer 
Variable: 
„ n «— l , n—2 , 
a 0 u + UyU + a 2 u + • • • 
lässt sich, wie oft erwähnt, auf die 
Form einer homogenen bringen, wenn 
man setzt n—— und mit y l multipli 
cirt. Sind dann u ir u 2 . , . die Wurzeln 
der ersten, so ist: 
x 
s