Substitution. 
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Substitution. 
Aus dieser Gestalt folgt, dass abgesehen vom Factor -i-, die Ausdrücke und 
Jfl 0 y 
— — entstehen, wie x und y aus | und y, man kann also, wenn eine Form f{x,y) 
vom Grade n gegeben ist, und diese durch lineare Substitution übergeht in F{%,y) 
ohne Weiteres setzen: 
1 
/ ò d \ 1 / d d\ 
^ \dy dx) 1 j^n ^ ’ 
wenn man statt der Potenzen von x und y in f die entsprechenden höheren Diffe- 
{ )2 ¿2 ¿2 
renzialquotienten, also z. B. für x 2 oder y 2 ^—-, für xy ^ substituirt 
und dann </. ergänzt, ebenso verfährt man mit F. 
Offenbar nämlich ist der Mechanismus beim Uebergange von 
<h 
dx 
"r = a '->x t + A 
dy 
d 2 y. 
d x 2 
( d . d 
(“5| + * 
ù y 
) (‘4+‘<rJ 
ganz derselbe, als wenn man von 
x — + ßy 
zu 
x 2 = («£ + ßy) (n£ -f ßy) 
übergeht. — Von den mittels dieses Verfahrens erhaltenen Ausdrücken sagt unsere 
Gleichung aus, dass sie Covarianten, im Falle, dass x und y selbst nicht darin 
Vorkommen, Invarianten sind 
So z. B. erhält man, wenn 
f — ax 2 2 bxy -(- y 2 
gesetzt wird, und 
V = «i* 2 + 2b l xy + c^y 2 
ist 
2 bd 2 cd 1 ' 
/ad 2 2bd 2 cd 2 \ 
\dy 2 dy dx dx 2 ) 
(f = ac l + a v c — 2 bb t 
und wenn (f — f ist 
2uc — 2 b 2 . 
Diese Ausdrücke sind also Invarianten. Sie wurden schon oben als Beispiele 
gebraucht. Aus der Form: 
b = {ab c d) | {x yY 
entspringt durch dies Verfahren die Invariante: 
ac — 4 bd + 3 c 2 , 
wenn man c/. =: f setzt. 
Es lässt sich leicht erkennen, dass dies Verfahren zur Bildung von Invarianten, 
wenn nämlich f = ff gesetzt wird, nur bei Gleichungen vom graden Grade an 
wendbar ist, bei ungradem verschwinden die so gebildeten Ausdrücke identisch. 
Seien jetzt gegeben zwei Reihen von Variablen x, y, z, x L , y s t , welche 
durch dieselbe lineare Substitution transformirt werden sollen, also: 
x = «£ + ßn + yC, x L = +ßy v 4-y£ t u. s. w., 
wird nun in irgend eine Form f gesetzt: für x, y, z bezüglich x-{-lx l , y + Aÿi, 
z + so ist in der Entwickelung der Coefficient von gleich: 
/ ò ò d \P 
abgesehen von dem Factor 
Es lässt sich nun zeigen, dass dieser 
1-2 ... p 
Ausdruck eine Covariante von f ist. In der That vollzieht man die 
linearen Substitutionen für x, y, z, x 1 . . .: