Substitution. 
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Substitution, 
also ist jede Invariante der Form 
: 
/ d 
d 
\ p 
\*' dx 
+ y '»-y + - 
■) f 
eine solche Function der Differenzialquotienten von f, welche durch lineare Trans 
formation in die gleiche Function der Differenzialquotienten der transformirten 
Function übergeht, und somit eine Covariante. 
Die zuerst betrachtete Covariante : 
d 2 f d 2 f / \ 2 
da; 2 dy 2 \dx dy) 
ist identisch mit der Hesse’schen Determinante für f (xy) . . . 
Wir haben aber auch oben gesehen, dass man mittels der Gleichung: 
wenn man <f mit f identificirt, für jede binäre Form, deren Grad eine grade Zahl 
ist, eine Invariante ableiten kann, z. B. für den vierten Grad: 
e — 4 dd + 3 c 2 . 
In Verbindung mit dem eben Gesagten lässt sich hieraus dann eine Covariante 
bilden, indem man: 
a = d JJ b = d *f C= J1L_ d= di f ¿v 
dx* ’ dx 3 dy ’ dx 2 dy 2 ’ dx dy 3 ’ 6 dy 1 
u. s. w. setzt, und dies gilt für alle Grade, indem man statt 4 im Exponenten 
schreibt 2s. 
Wir wollen hierzu ein Beispiel rechnen. Sei die Form: 
ax 3 +3 hx 2 + 3cxy 2 + dy 3 
auf die andere: 
Ap + Dy 3 
durch lineare Substitution zu bringen. Offenbar fällt dies Problem mit dem der 
Auflösung der Cubischen Gleichung zusammen. Bringt man nun unsere Form 
zuerst allgemein auf eine andere: 
Ap + SBPy + 3C£y* + Dy 3 
so ist die Hesse’sche Determinante, abgesehen von einem Zahlen - Factor: 
(ax + hy) (ex + dy) — (6« + cy) 2 = (ac — 6 a ) x • -)- (ad — bc) xy-\-{bd — c 2 ) y 2 
= [{AC- B 2 )p + (AD - BC) ft + (BD - C 2 ) y 2 } G\ 
wo G der Substitutionsmodul ist. 
Wenn B und C verschwinden sollen, ist die transformirte Covariante einfach 
gleich: AD&, woraus man sogleich erkennt, dass für £ und y die beiden Factoren 
zu wählen sind, in welche die Hesse’sche Determinante zerlegt werden kann, die 
Grössen A und D bestimmt man dann, wenn man die Factoren der gegebenen cubi 
schen Gleichung mit Ap + Dy 3 vergleicht. 
Beispiel. Sei die gegebene Form: 
40^ + 9** + 18a;+ 17, 
die Hesse’sche Determinante ist: 
15a; 2 +50« + 15, 
welche sich zerlegt in die Factoren: 
5 O + 3) (3« + 1). 
Setzt man nun: 
A (x + 3) 3 + D (3« +1) 1 = 4« 3 + 9«» + 18« + 17 
so ergibt sich: