ution. 
arch lineare Trans- 
der transformirten 
Gleichung : 
ad eine grade Zahl 
nn eine Covariante 
e = p. 
dy*- 
4 im Exponenten 
blem mit dem der 
nun unsere Form 
n - Factor: 
+ (bd-c 2 )y 2 
D-C*) 9 >] G*, 
kovariante einfach 
ie beiden Factoren 
werden kann, die 
ir gegebenen cubi- 
Substitution. 
647 
Substitution. 
A + 21D = 4 
7280 = 91 
A 
D 
27^ + 0 = 17 
728 A - 455 
= 5, 
Jede binäre Form von ungrä 
dern Grade hat eine Invariante 
vierten Grades. 
Denn wie eben gezeigt hat sie eine Co 
variante zweiten Grades in den Varia 
blen und Coefficienten, deren Discri 
minante also vom vierten Grade ist, und 
letztere ist, wie wir oben gesehen haben, 
eine Invariante. 
Z. B. die Hesse’sche Determinante 
also die Form wird reducirt in; 
5(ar + 3) 3 + (3a: + l) s . 
Dieser Ausdruck gleich Null gesetzt, gibt 
die Auflösung der Gleichung. 
Jede binäre Form von ungra- einer cubischen Form ist: 
dem Grade 2m —1 hat eine Cova- 
riante vom zweiten Grade so 
wohl in den Veränderlichen als 
in den Coefficienten. 
Denn es ist: 
s \ 2m— 2 
+ 2G 
dyj 
(ac — b-) x 2 -{-(ad— bc) xy + (bd—c 2 ) y 2 , 
deren Discriminante: 
(ac—b 2 ) (bd — c 2 ) — 4(ad — bc) 2 
ist, also Invariante der gegebenen Form 
(sie ist zugleich deren Discriminante). 
Die bis jetzt gegebenen Methoden las 
sen sich nun vereinigen. Nach der hier 
von einem graden Grade in x,y v und gegebenen Methode lassen sich Cova- 
den Coefficienten. Bildet man nun, wie nanten, aus diesen Invarianten durch 
eben gezeigt wurde, die Invariante, so ( j as gy m b 0 j f i— _ un d hieraus 
entspringt derselben die Covatiante wie \oy dxJ 
oben. 
Invarianten einer Covariante 
sind Invarianten der gegebenen 
Form. 
Dies liegt in der Definition, denn bei 
der Substitution bleiben die Coefficienten 
der Invariante der Covariante, welche 
wieder Covarianten bilden. 
Also z. B. für die biquadratische Form: 
(abcde) | (xy) 4, 
ist das Symbol einer Invariante: 
(«6c*) | (^-¿)t. 
mit denen der gegebenen Form identisch für </> nehmen wir nun die Hesse’sche 
sind, unverändert; (immer von einem Determinante der gegebenen Form, 
Factor abgesehen). diese ist: 
(ac — b' 2 -, 2ad — 2bc, ae -f- 2bd — 3c a , 2be — 2cd, ce — d 2 ) | (xy) 4, 
und erhalten aus unserm Symbol die Invariante: 
ace + 2 bcd — ad 2 — eh 2 — c 3 . 
Betrachten wir diese als Invariante der Form: 
/ d <5 , 
r i y* + 2/ I % + • • •) f 
in Bezug auf Xy, y t , d. h.: Vertauschen wir a, b, c ♦ . . mit den Factoren 
von x iy . . ., d, h. mit den entsprechenden vierten Differenzialquotienten 
von f, so kommt die Covariante: 
«1L «l£ + 2 _±L J1L. Alf. .. 
da:* dy 4, dx 2 dy 2 dx 3 dy dx dy 3 dx 2 dy 2 
für alle Formen f, deren Grad den vierten übersteigt. 
Es ist hier der Ort, ein wichtiges Prinzip für die binären Formen zu entwickeln. 
Setzt man voraus, dass *„ i/ t immer mit x, y durch dieselbe Substitution 
geändert werden, so hat man 
»!fi — ®i V 
als Covariante jeder beliebigen Form, denn die lineare Substitution von x,y,x v y t 
verwandelt diesen Ausdruck: 
(«i02 ~ «20i) i&i —Zrf)- 
Sei nun J irgend eine Invariante der Form: 
(a 0 «j a 2 . . .) | (xy) 11 
so lässt sich zeigen, dass; 
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