Substitution. 
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Substitution. 
. n . n— 1 , , n~1 
f=a 0 x + na v x y+nb^x z 
, n(n — 1) n—2 , , 
H j—2— ^ #+•••> 
so ist: 
eine Contravariante (Evectante) von f 
Denn mögen: 
n . n— l , 
a ü x -f- na v x «/+■•• 
durch Substitution übergehen in: 
A 0 l; + nA x % >/+... 
so bleibt, wie wir gesehen haben ; 
a;X+ yY + sZ 
ungeändert. Es ist also: 
n , n—l , 
a 0 x + waja: y + . . . 
+ k(xX + yY + zZ) n 
= A 0 t n + nA l S n ~ i v+ . . . 
4" ^1 (s-? + yH + LZ) , 
wenn sr, H, Z die neuen Variablen der 
reciproken Substitution für X, Y, Z sind. 
Jede Invariante der linken Seiten der 
Gleichung wird also in eine gleiche 
Function derer der anderen Seite trans- 
formirt. Eine solche wird aber für 
a ü x -f- . . . + A (xX + . . ■) 
gebildet, indem man in einer Invariante 
J der ursprünglichen Form a 0 x n 4* • • • 
setzt: 
a 0 + kX n für a 0 , 
i^-PAX” -1 Y für a L 
+AX n_1 Z für b, 
u. s. w. 
Die Invariante ist also: 
J+A ( x ”^; + • • ) J+ • • • 
Die Coefficienten der Potenzen von A 
sind bis auf den gewöhnlichen Factor 
den Coefficienten von A t gleich. Die 
letzteren gehen aber aus den andern 
durch die reciproke Substitution hervor 
und daher sind diese Coefficienten Con 
travarianten von f. 
So z, B. folgt aus der Discriminante 
einer quadratisch ternären Form: 
D = aa t a a -f- 2bb t b a — ab 1 — « l b, * 
a 
die Evectante: 
JO „ <U) vv dD 
X a 7T 4- Y2 J- 4 XY JT- + 
da oa¡ ob a 
d. h.: 
(a,a 2 ~ b*)X 3 + (a 2 a- b, 1 ) Y* -j- .. . 
wie schon gezeigt, die Gleichung der ße- 
ciprokalcurve. 
Der letzte von den Evectanten binärer 
Formen hier gegebene Satz betraf die 
singulären Wurzeln, Derselbe nimmt 
für ternäre Formen folgende Fassung an. 
Verschwindet die Discrimi 
nante einer Form, so hat dieselbe 
eine Keihe singulärer Wurzeln 
a:,, y t , z, . . . Die erste Evectante 
der Discriminante ist dann eine 
nte Potenz von x t X-j-y L Y-l-z t Z. 
In diesem Falle kann nämlich die 
Form so transformirt werden, dass die 
neuen Coefficienten von x 11 , x n 1 y, 
x n ~ 1 s . . . verschwinden, ganz wie be' 
binären Formen. 
Da dann nämlich für 2 = 0, die Func 
tion einen quadratischen Factor erhält, 
und ebenso für y = 0, so kann man sie 
auf die beiden Formen bringen : 
(xy t -yx¡) 2 y 4-zi/>, 
(»»I - 2« l )' î y l +yif> l . 
Macht man nun die Substitution : 
X = X, y—XZ'{—ZX J, z = xy t —yx t , 
so lehrt die erstere Form, dass kein 
1 y, die letz- 
mit x und kein mit x 
tere, dass kein mit x 11 1 z multiplicirtes 
Glied existirt, es ist also 
ttg ff | — b | 0. 
Nun könnte die Discriminante ganz 
allgemein auf die Gestalt gebracht werden: 
a 0 o 4- «i*y 4- f( l 6iV'4- b x 2 x 
und man sieht, dass für a 0 , ft,, bj = 0 
(5 D 
alle Differenzialquotienten ausser 
verschwinden. Das erste Glied der Evec 
tante ist dann Xn t— , nun geht das 
da 0 
neue X aus dem alten durch reciproke 
Transformation hervor. Die der Sub 
stitution: 
x = x, y = xy, — z-xj, z~xz l — zx l 
entsprechende Determinante aber ist: 
10 0 
2, 0-«i 
Vi -«I 0